牛客网暑期ACM多校训练营（第五场） F - take —— 期望+树状数组+逆元

看到一篇好的博客特意转出来观摩大佬：转：https://blog.csdn.net/greybtfly/article/details/81413526

题目大意：
给n个箱子排成一排，从头到尾按顺序依次开箱子，第i个箱子都有概率pi开出size为di的钻石。

一开始手中是没有钻石的，如果打开箱子后钻石的size要大于手中的钻石，就丢掉手中的钻石换成箱子中的钻石。

问：丢掉钻石的个数（交换的次数）期望是多少。（有点像狗熊掰棒子，咳咳）

思路：
由概率知识可以知道，选择每个箱子时所有的情况都是独立的（不会的话问高中数学老师不要问我，我也证明不了）

所以期望E=∑（所有箱子打开时交换的期望），由概率论知识，设事件为A，期望为E（A ），发生一次为P（A），发生一次对期望的贡献为F(A)，有E（A）=P(A)*F(A)。本题显然发生一次交换事件对期望的贡献为F(A)=1；所以有

E(A)=P(A);

所以，E=∑(所有箱子打开时交换的期望)=∑( 所有箱子打开时交换的概率)；

然后题目就转化为求箱子打开时发生交换的概率。

我们很容易知道，手中钻石size大小一定是递增的，所以打开第i个箱子时，发生交换的条件是之前没有拿到更大的钻石（如果之前的钻石更大，也就是手中的钻石更大，肯定不能丢掉手中的大钻石，所谓丢了西瓜捡了芝麻....）.

总结一下，之前所有大于它的箱子不能开：1~i-1个箱子中，钻石大于第i个的箱子，不打开的概率的乘积。要发生交换，第i个箱子也得打开，就再乘以pi。

设pi为打开第i个箱子的概率，bi为第i个箱子的钻石大小。

所以   Pi=pi*π(1-pj),   j∈{ j是正数|1<=j<=i-1 且 bj>bi };

E=∑ei=∑Pi

期望（数学部分）求解完毕。

但这还没结束。由于结果显然超出了long long 的数据范围，且结果对mod=998244353取余后输出。我们想到同余定理。

(a±b)%mod=(a%mod±b%mod+mod)%mod

a*b*c%mod=a*b%mod*c%mod

但是本题有除法，（因为要除以100）

所以要用到离散数学中的逆元（运算为%mod，要注意mod不同逆元也不同）

设%mod的逆元为inv

有a/b%mod=a*inv%mod (不考虑小数)

求逆元用扩展欧几里得做（听说也有别的方法）。我直接抄板子了，其实我也不清楚求逆元的原理

这还没完

公式中要求前i项大于b的概率连乘积。而n数据范围是1e5.所以，不可能用暴力的方法求解。要用树状数组（或者线段树）

我们离线处理需求，由于我们只需要前i个比当前箱子钻石大的概率连乘积，所以我们将箱子按照钻石大小从大到小排序（要记录好箱子本来的位置，这里可以用离散化O（nlogn），也可以直接保留映射O(n)，我选择第二种）。

按照从大到小的顺序，依次加入树状数组，使用树状数组查询前i个连乘积（注意取模）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
const ll mod = ;
const ll maxn = 4e5+;
ll tree[maxn],n;

ll lowbit(ll x)
{
    return x&-x;
}
void update(ll i , ll x)
{
    while(i<=n)
    {
        tree[i]*=x;
        tree[i]%=mod;
        i+=lowbit(i);
    }
}
ll sum(ll x)
{
    ll Sum=;
    while(x>)
    {
        Sum*=tree[x];
        Sum%=mod;
        x-=lowbit(x);
    }
    return Sum;
}
ll inv(ll a , ll m)
{
    if(a==) return ;
    return inv(m%a,m)*(m-m/a)%m;
}
struct no
{
    ll p,v,i;
}co[maxn];
bool cmp(no a , no b)
{
    return a.v>b.v;
}
int main()
{
    ll imod=inv(,mod);
    ll e=,i,j,k,t;
    cin>>n;
    for( i= ; i<maxn ; i++) tree[i]=;
    for(i= ; i<=n ; i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&co[i].p,&co[i].v);
        co[i].p*=imod;
        co[i].p%=mod;
        co[i].i=i;
    }
    sort(co+,co++n,cmp);
    for(int i= ; i<=n ;  i++)
    {
        e+=sum(co[i].i-)*co[i].p%mod;
        e%=mod;
        update(co[i].i,(-co[i].p+mod)%mod);
    }
    cout<<e<<endl;
}