从n个数中随机选取m个

咋一看，这是个很简单的问题，但是如果n是个不确定的数呢？比如服务器每天会收到数以亿计的请求，但是目前服务器端不希望保存所有的请求，只想随机保存这些请求中的m个。试设计一种算法，能够使服务器实时保存m个请求，并使这些请求是从所有请求中的大致等概率被选中的结果。注意：不到一天的结束，是不能提前知道当天所有请求数n是多少的。下面我们分两种情况讨论（1）n已知，（2）n未知。

1 n已知

可以将问题简化为：从集合A(a_1, a_2, … ,a_n),中随机选取m（0≤m≤n）个元素，使得每个数被选取的概率相等。可以很简单的计算每个数被选取的概率是m/n。如果集合A里面的元素本来就具有随机性， 每个元素在各个位置上出现的概率相等， 并且只在A上选取一次数据，那么直接返回A的前面m个元素就可以了， 或者可以采取每隔k个元素取一个等类似的方法。这样的算法局限很大， 对集合A的要求很高。

假设集合A中的元素在各个位置上不具有随机性， 比如已经按某种方式排序了，那么我们可以遍历集合A中的每一个元素a_i,根据一定的概率选取a_i,这个概率是多少呢，设m’为还需要从A中选取的元素个数， n’为元素a_i及其右边的元素个数， 也即n’=(n-i+1)。那么选取元素a_i的概率为 m’/n’。这个证明较复杂，下面简单验证一下前两个元素被选中的概率：（设p(a_i=1)表示a_i被选中的概率，p(a_i=0)表示a_i没有被选中的概率）

（1）很显然 p(a_1=1)=m/n

（2）p(a_2=1)= p(a_2=1,a_1=1)+p(a_2=1,a_1=0)
= p(a_1=1)*p(a_2=1│a_1=1)+ p(a_1=0)* p(a_2=1│a_1=0)
= m/n * (m-1)/(n-1) + (n-m)/n*m/(n-1)
= m/n

实际编程中选取某个元素时，可以生成一个[0,1]之间的随机数k, 若k<=m'/n'则选取这个元素，否则抛弃。

2 n未知

这个问题可以简化为：一个整数序列生成器，以一定时间间隔生成一个新的整数，一天之内会生成N个，希望实时保存m个整数，使得任何时刻这m个整数都是当前已生成的所有整数数量n中等概率抽取的结果，即概率均为m/n。由于n是未知的，我们需要以某种特殊的方式进行判决保存还是不保存，以使得满足概率要求。具体步骤如下：

(1)对于前m个请求直接保存到服务器上，对应整数序列相当于，整数数组的前m个直接存下来。

(2)对于m个以后的第k个新请求，以m/k的概率选择保存，并同从已保存的m个请求中随机选出的一个进行交换。

细说就是，

• 对于第m+1个请求，以m/(m+1)的概率选择留下，如果留下了则从已保存的m个请求中随机选出一个，同它交换;
• 对于第m+2个请求，以m/(m+2)的概率选择留下，如果留下了则从已保存的m个请求中随机选出一个，同它交换;
• 对于第m+3个请求，以m/(m+3)的概率选择留下，如果留下了则从已保存的m个请求中随机选出一个，同它交换;

…

下面我们用数学归纳法证明这个方法使每个元素被选取的概率是m/n：

(1)当n=m+1时，
对于第m+1个请求以概率m/(m+1)选择留下，显然满足m/n的要求;
对于前m个请求中的任何一个，能被选择留下有两种情况：a.第m+1个请求被选择留下了并且没有和自己进行交换; b.第m+1个请求没有被选择留下来而自己确实已被选择留下来了。
所以，概率计算为 m/(m+1) * (m-1)/m + (1 – m/(m+1)) * 1 = (m-1)/(m+1) + 1/(m+1) = m/(m+1)

(2)假设当n=N时，仍然正确，即任何一个请求被选中的概率都是m/N，现在推到证明当n=N+1时，任何一个请求被选中留下的概率是m/(N+1)。
对于第N+1个请求，因为是以m/n=m/(N+1)的概率选中的，所以显然满足要求;
对于前m个请求中任何一个，能被选中留下同样分为同上的两种情况：a.一种是第N+1个被选中了但随机抽取出与它交换的不是自己;  b.另一种情况是自己已留下并且第N+1个未被选中留下。并且前m个请求中的某个被选中的前提是：在处理完第N个请求后，该请求被选中，根据假设这个概率是m/N。

和概率为: [ m/(N+1) * (m-1)/m + (1-m/(N+1)) ]* m/N = [ (m-1)/(N+1) + (N+1-m)/(N+1) ] * m/N = m/(N+1)。

即当n=N+1时，仍然正确。

综合1）、2)可知，此方法满足等概率要求

当然这种选取方法也适用于n已知的情况。

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