Codeforces 1067E - Random Forest Rank（找性质+树形 dp）

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一道不知道能不能算上自己 AC 的 D1E（？）

挺有意思的结论题，结论倒是自己猜出来了，可根本不会证（

开始搬运题解 ing：

碰到这样的题我们肯定要考虑一个图邻接矩阵的秩是什么。显然根据我们幼儿园就学过的线性代数，对于一个矩阵 \(A\)​ 而言，其行列式就是其最大的子式满足其行列式不等于 \(0\)，也就是任取若干行 & 若干列，它们的交组成的矩阵行列式不等于 \(0\)，不难发现对于一个森林的邻接矩阵而言，对于任意一个子式，如果它的行列式不等于 \(0\)，那么它的行、列下标的并组成的主子式的行列式肯定也非零，因此我们只用考虑其主子式就行了，而主子式显然可以看作导出子图的邻接矩阵，因此我们接下来只需探究什么样的矩阵行列式非零。

考虑行列式的展开式：

\[\det A=\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod\limits_{i=1}^nA_{i,p_i}
\]

显然对于后面的 \(\prod\)​ 而言，只有 \((i,p_i)\)​ 存在边相连时 \(A_{i,p_i}\)​ 才非零，而由于图无自环，如果 \(\exists i,s.t.i=p_i\)​ 必然有 \(p\)​ 对 \(\det A\)​ 的贡献为 \(0\)​，同理，如果 \(p\)​ 存在一个大小 \(\ge 3\)​ 的置换环，那么由于图是一个森林，不可能这些点之间两两相邻的点都存在边，对 \(\det A\)​ 的贡献也为 \(0\)​。也就是说只有 \(p\)​ 中所有置换环大小都为二，也就是我们选出的是一个形如的 \((i,p_i)\)​ 的完美匹配，而由于图是一个森林，因此完美匹配个数肯定 \(\le 1\)，具体构造方案就是从叶子开始贪心地匹配，如果匹配不了就不存在完美匹配，因此 \(\det A\) 非零的充要条件是图存在完美匹配，因此我们可以得到这样一个性质：​

Observation. 对于图 \(G\) 而言，\(G\) 邻接矩阵的秩是 \(G\) 最大匹配的大小 \(\times 2\)。

有了这个性质之后就可以 DP 了。\(way_{i,0/1}\) 表示钦定以 \(i\) 为根的子树内的边，并且在最大匹配中 \(i\) 选/没选的方案数，\(dp_{i,0/i}\) 表示钦定以 \(i\) 为根的子树内的边，并且在最大匹配中 \(i\) 选/没选的所有方案中最大匹配个数的总和。转移就分 \((i,j)\) 的边选/不选，然后分类讨论一下即可，复杂度 \(\mathcal O(n)\)

const int MAXN=5e5;
const int MOD=998244353;
int n,hd[MAXN+5],to[MAXN*2+5],nxt[MAXN*2+5],ec=0;
void adde(int u,int v){to[++ec]=v;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
int dp[MAXN+5][2],way[MAXN+5][2];
void dfs(int x,int f){
	way[x][0]=1;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f) continue;dfs(y,x);
		static int tmp_dp[2]={0},tmp_way[2]={0};
		memset(tmp_dp,0,sizeof(tmp_dp));
		memset(tmp_way,0,sizeof(tmp_way));
		tmp_way[0]=(1ll*way[x][0]*(way[y][0]+way[y][1]))%MOD;
		tmp_dp[0]=(1ll*dp[x][0]*(way[y][0]+way[y][1])+1ll*(dp[y][0]+dp[y][1])*way[x][0])%MOD;
		tmp_way[1]=(1ll*way[x][1]*(way[y][0]+way[y][1])*2)%MOD;
		tmp_dp[1]=2ll*(1ll*dp[x][1]*(way[y][0]+way[y][1])+1ll*(dp[y][0]+dp[y][1])*way[x][1])%MOD;
		tmp_way[0]=(tmp_way[0]+1ll*way[x][0]*way[y][1])%MOD;
		tmp_dp[0]=(tmp_dp[0]+1ll*dp[x][0]*way[y][1]+1ll*dp[y][1]*way[x][0])%MOD;
		tmp_way[1]=(tmp_way[1]+1ll*way[x][0]*way[y][0])%MOD;
		tmp_dp[1]=(tmp_dp[1]+1ll*dp[x][0]*way[y][0]+1ll*dp[y][0]*way[x][0]+1ll*way[x][0]*way[y][0])%MOD;
		for(int i=0;i<2;i++) dp[x][i]=tmp_dp[i],way[x][i]=tmp_way[i];
	}
//	printf("%d %d %d %d %d\n",x,dp[x][0],dp[x][1],way[x][0],way[x][1]);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),adde(u,v),adde(v,u);
	dfs(1,0);printf("%d\n",2ll*(dp[1][0]+dp[1][1])%MOD);
	return 0;
}