BZOJ 3675: 序列分割 (斜率优化dp)

Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3

4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

题意：给出一个包含n个非负整数的序列，要求将其分割成k+1个序列，每次分割可以获得一定的分数，分数=序列分割位置左侧的数之和×序列分割位置右侧的数之和。要求最大分数是多少。

思路：值得注意的是最后得到的分数与分割的先后顺序无关所以我们可以大胆的进行划分dp[i][j]表示前i个数分割j次得到的最大分数

dp[i][j]=max(dp[k][j-1]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])) 这里略过斜率优化的证明我们还可以发现可以用滚动数组降低空间复杂度

细节:斜率分母可能为0 所以要特判一下

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<string>

#include<vector>

#include<stack>

#include<bitset>

#include<cstdlib>

#include<cmath>

#include<set>

#include<list>

#include<deque>

#include<map>

#include<queue>

#define ll long long int

using namespace std;

inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}

inline ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}

int moth[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};

int dir[4][2]={1,0 ,0,1 ,-1,0 ,0,-1};

int dirs[8][2]={1,0 ,0,1 ,-1,0 ,0,-1, -1,-1 ,-1,1 ,1,-1 ,1,1};

const int inf=0x3f3f3f3f;

const ll mod=1e9+7;

ll n,k;

ll a[100007];

ll dp[100007][2];

ll sum[100007];

ll q[100007];

double slope(ll j,ll k,ll zu){

    return sum[k]-sum[j]==0?0:((dp[j][zu]-sum[j]*sum[j]-dp[k][zu]+sum[k]*sum[k])

    /(sum[k]-sum[j]));

}

int main(){

    ios::sync_with_stdio(false);

    while(cin>>n>>k){

        for(int i=1;i<=n;i++)

            cin>>a[i],sum[i]=sum[i-1]+a[i];

        int l,r;

        for(int j=1;j<=k;j++){ //分割次数

            l=r=1;

            for(int i=1;i<=n;i++){ //人数

                while(l<r&&slope(q[l],q[l+1],(j-1)%2)<sum[i]) l++;

                dp[i][j%2]=dp[q[l]][(j-1)%2]+sum[q[l]]*(sum[i]-sum[q[l]]);

                while(l<r&&slope(q[r-1],q[r],(j-1)%2)>slope(q[r],i,(j-1)%2)) r--;

                q[++r]=i;

            }

        }

        cout<<dp[n][k%2]<<endl;

    }

    return 0;

}