扩展欧几里得算法（EXGCD）学习笔记

0.前言

相信大家对于欧几里得算法都已经很熟悉了。再学习数论的过程中，我们会用到扩展欧几里得算法（exgcd），大家一定也了解过。这是本蒟蒻在学习扩展欧几里得算法过程中的思考与探索过程。

1.Bézout定理

扩展欧几里得算法利用归纳法，证明了Bézout定理。

Bézout定理：对于任意整数 \(a\),\(b\) ，存在一对整数 \(x\),\(y\)，满足 \(ax+by=gcd(a,b)\)

在扩展欧几里得的算法中，我们求出 \(x\),\(y\) 的值。

2.证明

2.1 \(gcd\)

首先，我们来看一下 \(gcd\) 函数

int gcd (int a, int b) {
	if(b == 0) return a;
	else return gcd(b, a % b);
}

在第二行，也就是递归终止时，\(b=0\) 且 \(a=gcd(a,b)\)。 我们可以发现存在一对整数 \(x\),\(y\) 满足条件 \(ax+by=gcd(a,b)\)。

将已知的值代入可得:\(ax+b*0=gcd(a,b)\)

∵\(a=gcd(a,b)\)

∴\(gcd(a,b)*x=gcd(a,b)\)

∴\(y\)在终止时可取任意值，\(x=1\)

2.2归纳法

我们在2.1中得到了 \(b=0\) 时的解。现在，我们用归纳法一步步得到最终解。当 \(b>0\) 时，我们假设 \(b*x\) 满足条件 \(b*x+(a\,mod\,b*y)gcd(b,a\,mod\,b)\)(代入的值也正是我们平时进行gcd的转移方程)

\(∵ bx+(a\,mod\,b)y=bx+[a-b(a/b)]y\)

\(∴ bx+(a\,mod\,b)y=bx+ay-by(a/b)\)

\(∴ bx+(a\,mod\,b)y=ay+bx-by(a/b)\)

\(∴ bx+(a\,mod\,b)y=ay+b[x-(a/b)y]\)

令 \(x_1=y\), \(y_1=x-(a\,mod\,b)y\),再代入已得到的式子，就能得到：

\(ax_1+by_1=gcd(a,b)\),所以可以得出Bézout定理成立。

3.代码实现

3.1思路简述

我们的代码在截止条件上与 \(gcd\) 相同，都是 if(b == 0)时停止递归。我们在此基础上再改变 \(x\) 和 \(y\) 的值。

3.2参考代码及注释

大部分都按照前面的推导过程

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { //x，y的初始值无关
	if(b == 0) {
		x = 1, y = 0;//改变x，y的值（y可取任意值）
		return a;
	} else {
		int tmp = exgcd(b, a % b, x, y);//保存下一次的最大公约数
		int z = x; //存储上一次的x
		y = x; //及上文中的y1
		x = z - y * (a / b); //及上文中的x_1
		return tmp;//返回最大公约数
	}
}