洛谷 P3216 [HNOI2011]数学作业

最近学了矩阵，kzj大佬推荐了我这一道题目。

乍一眼看上去，没看出是矩阵，就随便打了一个暴力，30分。

然后仔细分析了一波，发现蛮简单的。

结果全wa了，先看看下面的错误分析吧！

首先，设f[n]为最终答案，易得出$$ f[n]=f[n-1]*10+n$$

然后魔改一下：$$ f[n]=f[n-1]*10+n-1 => $$

\[\begin{matrix}
10&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1\\
\end{matrix}\]

信心一波过样例提交，0分。

心态炸了，仔细想了想，原来这个矩阵是会变化的。

假设n的位数为k。

\[f[n]=f[n-1]*10^k+n-1$$ 这才是正确的递推公式。

所以矩阵也要改为：

$$\begin{matrix}
10^k&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1\\
\end{matrix}\]

那么，矩阵会成长，怎么做呢，

我们可以分开处理，初始矩阵 \(f[0] => (0,0,1)\)

从1枚举位数，一直到\(length(n)-1\)位，一直乘\(10^k\)的矩阵\(9*10^{k-1}\)次。

最后处理\(length(n)\)位，乘以\(10^{length(n)}\)矩阵\(n-\sum_{k=1}^{length(n)}(9*10^{k-1})\)次。

献上巨弱的丑代码吧～

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;

const int K=0;
ull n,m,len,p,tot;
ull f[]={0,0,0,1},t[4][4];
ull suan(ull,ull);
void fuyan();
void yuzhouzhou();
ull getpow(ull,ull);
string work();
string w=work();
int main() {;;;;;;;;;;;;;;;;;;}

ull suan(ull x,ull y)
{
    ull d=0;
    while (y) {
        if (y&1) d=(d%m+x%m)%m;
        x=(x%m+x%m)%m,y>>=1;
    }
    return d%m;
}

void fuyan()
{
    ull d[4];
    memcpy(d,f,sizeof(d));
    memset(f,0,sizeof(f));
    for (int i=1;i<=3;++i)
        for (int j=1;j<=3;++j)
            f[i]=(f[i]%m+suan(d[j]%m,t[j][i]%m))%m;
}

void yuzhouzhou()
{
    ull d[4][4];
    memcpy(d,t,sizeof(d));
    memset(t,0,sizeof(t));
    for (int i=1;i<=3;++i)
        for (int j=1;j<=3;++j)
            for (int k=1;k<=3;++k)
                t[i][j]=(t[i][j]%m+suan(d[i][k]%m,d[k][j]%m))%m;
}

ull getpow(ull x,ull y)
{
    ull d=x;
    for (int i=1;i<y;++i) d*=10;
    return d;
}

string work()
{
    cin>>n>>m;
    p=n;
    while (p) ++len,p/=10;
    for (int i=1;i<len;++i) {
        p=getpow(9,i);
        tot+=p;
        t[1][1]=getpow(10,i);
        t[1][2]=t[1][3]=t[2][3]=0;
        t[2][1]=t[2][2]=t[3][1]=t[3][2]=t[3][3]=1;
        while (p) {
            if (p&1) fuyan();
            yuzhouzhou(),p>>=1;
        }
    }
    p=n-tot;
    t[1][1]=getpow(10,len);
    t[1][2]=t[1][3]=t[2][3]=0;
    t[2][1]=t[2][2]=t[3][1]=t[3][2]=t[3][3]=1;
    while (p) {
        if (p&1) fuyan();
        yuzhouzhou(),p>>=1;
    }
    cout<<f[1];
    return "You succeeded,boy!";
}