【bzoj1076】【SCOI2008】【奖励关】期望最优值dp

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Description

　　你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，

每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（

这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi

分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过

一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可

以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你

采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

　　第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随

后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

Output

　　输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2

1 0

2 0

Sample Output

1.500000

HINT

【数据规模】

1<=k<=100,1<=n<=15，分值为[-10^6,10^6]内的整数。

最近学期望dp，发现自己功力还不够深厚啊。。。状态转移只想得比较大概，没有真正的想清楚。

数据范围：状压

看到题目中的“损失短期利益获得更大利益”，就想到了dp。我们设dp[i][s]表示第i次获得的宝物状态为s的期望最大收益。

最开始想到的顺推：

dp[i][s]=max{(dp[i-1][s^(1<<(j-1)]+w[j])*1/n,dp[i-1][s]*1/n}

其中s^(1<<(j-1))需要是s的合法前继状态。而且丢出的宝物我们不一定要吃。

不太明白网上为什么说要倒推。大概是因为可以直接由合法状态转移过来，而正推需要判断更多的不合法状态。此时的dp应定义为期望还可以获得的分数。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const double oo=0x7fffffff;

int pre[20];
int k,n;
double scr[20],dp[105][1<<15];

int main(){
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&scr[i]);
        int tmp=0,j;
        while(scanf("%d",&j)){
            if(j==0) break;
            tmp|=(1<<(j-1));
        }
        pre[i]=tmp;
    }
    for(int i=k;i>=1;i--){
        for(int j=0;j<(1<<n);j++){
            for(int q=1;q<=n;q++){
                if((pre[q]|j)==j){
                    dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|(1<<(q-1))]+scr[q]);
                }
                else dp[i][j]+=dp[i+1][j];
            }
            dp[i][j]/=(double)n;
        }
    }
    printf("%.6lf\n",dp[1][0]);
    return 0;
}