bzoj 3481 DZY loves math —— 反演+Pollard_rho分解质因数

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3481

推式子：xy % P = Q 的个数

由于 0 <= x,y < P，所以对于一个固定的 x，如果 (x,P) | Q，则有 (x,P) 个解；

所以个数为 ∑(0 <= x < P ) (x,P) * [ (x,P) | Q ]  ( [...] 表示 ... 为真则为1，否则为0)

= ∑( d|P, d|Q ) d * φ( P/d )

令 Q = (P,Q)，则

= ∑( d|Q ) d * φ( P/d )

单独考虑每个质因子的贡献，若P = p₁ ^ t₁ * p₂ ^ t2 _{* ...} p_m ^ t_m，Q = p₁ ^ k₁ * p₂ ^ k₂ * ... * p_m ^ k_m，则原式

= ∏( 1 <= i <= m ) ∑( 0 <= x <= k[i] ) p_i * φ(p_i^t_i-x)

而 φ(p_i^t_i) = p_i^t_i * ( p_i - 1 ) / p_i

所以原式最终变成 ∏( 1 <= i <= m ) p_i^(t_i-1) * ( p_i - 1 ) * ( k_i + 1 )

注意 t[i] = k[i] 时略有不同，求和的那一项 = p_i ， 所以如果有 t[i] = k[i]，则再加一个 p_i^(t_i-1)；

然后...质因数分解要用 Pollar_rho，Pollard_rho 内又用到 Miller-Rabin，参考了一下博客：

https://blog.csdn.net/sunshine_cfbsl/article/details/52512706

https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/19/2646396.html

https://blog.csdn.net/forever_shi/article/details/80547041

套上板子就可以了；

但要注意，如果把 P 和 Q 的所有质因子都提取出来会 TLE，因为令 Q = (P,Q)，所以只有 Q 有的质因子就不用专门记录下来了；

直接 rand() 似乎只能得到 int，所以可以专门写一下 ll 的，虽然只有 int 好像也可以；

注意各处都是 ll 。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=;
int m,S=,t[xn],k[xn];
ll pri[xn],ans;
ll rd()
{
  ll ret=,f=; char ch=getchar();
  while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='')ret=(ret<<3ll)+(ret<<1ll)+ch-'',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
ll Rand(ll n)
{
    return (((ll)rand()<<)|rand())%(n-)+;
//    return rand()%(n-1)+1;//也可，但无ll
}
ll upt(ll x,ll mod){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
ll mul(ll a,ll b,ll mod)
{
  ll ret=;  a=a%mod; b=b%mod;
  for(;b;b>>=1ll,a=upt(a+a,mod))
    if(b&)ret=upt(ret+a,mod);
  return ret;
}
ll pw(ll a,ll b,ll mod)
{
  ll ret=;  a=a%mod;
  for(;b;b>>=1ll,a=mul(a,a,mod))
    if(b&)ret=mul(ret,a,mod);
  return ret;
}
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
bool ck(ll a,ll u,ll t,ll p)
{
  ll x=pw(a,u,p),lst=x;
  for(int i=;i<=t;i++)
    {
      x=mul(x,x,p);
      if(x==&&lst!=&&lst!=p-)return ; // a^2 % p = 1 -> a=1,a=p-1
      lst=x;
    }
  if(x!=)return ; // a^p-1 % p = 1
  return ;
}
bool MR(ll x)
{
  if(x<=||x&==)return ;
  if(x==)return ;
  ll t=,u=x-;
  while(u&==)u>>=1ll,t++;
  for(int i=;i<=S;i++)
    {
      ll a=Rand(x)%(x-)+;
      if(!ck(a,u,t,x))return ;
    }
  return ;
}
ll rho(ll n,ll c)
{
  ll x=Rand(n)%n,y=x;
  ll i=,k=;
  while()
    {
      i++;
      x=(mul(x,x,n)+c)%n;
      ll d=gcd((x-y+n)%n,n);
      if(d!=&&d!=n)return d;
      if(x==y)return n;
      if(i==k)y=x,k+=k;
    }
}
void add(ll x,bool tp)//1:P-t[]
{
  for(int i=;i<=m;i++)
    if(pri[i]==x)
      {
        if(tp)t[i]++; else k[i]++;
        return;
      }
  if(!tp)return;//否则TLE!!!
  pri[++m]=x;
  if(tp)t[m]++; else k[m]++;
}
void find(ll x,bool tp)
{
  if(x==)return;//!
  if(MR(x)){add(x,tp); return;}
  ll p=x;
  while(p>=x)p=rho(p,Rand(x)%(x-)+);
  find(p,tp); find(x/p,tp);
}
int main()
{
  srand();//或 time(0);
  int mod=1e9+;
  int n=rd(); ll x; bool fl=;
  for(int i=;i<=n;i++)x=rd(),find(x,);//1:P-t[]
  for(int i=;i<=n;i++)
  {
      x=rd();
      if(!x){fl=; continue;}
    else find(x,);
  }
  if(fl)for(int i=;i<=m;i++)k[i]=t[i];
  else for(int i=;i<=m;i++)k[i]=min(k[i],t[i]);//(P,Q)
  ans=;
  for(int i=;i<=m;i++)
    {
      ll pp=pw(pri[i],t[i]-,mod);
      ll mm=mul(pri[i]-,k[i]+,mod);
      if(k[i]==t[i])mm++;
      ans=mul(ans,mul(pp,mm,mod),mod);
    }
  printf("%lld\n",ans);
  return ;
}