二值形态学——腐蚀与膨胀 及 C语言代码实现

参考文献：数字图像处理(第三版) 何东健 西安电子科技大学出版社

二值形态学中的运算对象是集合， 但实际运算中， 当涉及两个集合时并不把它们看作是互相对等的。 一般设A为图像集合， S为结构元素， 数学形态学运算是用S对A进行操作。 结构元素本身也是一个图像集合， 不过通常其尺寸要比目标图像小得多。 对结构元素可指定一个原点， 将其作为结构元素参与形态学运算的参考点。 原点可包含在结构元素中， 也可不包含在结构元素中， 但运算的结果常不相同。 以下用黑点代表值为1的区域， 白点代表值为0的区域， 运算对于值为1的区域进行。

1.腐蚀

　　腐蚀是一种最基本的数学形态学运算。 对给定的目标图像X和结构元素S， 将S在图像上移动， 则在每一个当前位置x， S+x只有3种可能的状态， 如下图所示：

           

第（1）种情形说明S+x与X相关；

第（2）种情形说明S+x与X不相关；

第（3）种情形说明S+x与X只是部分相关。

因而满足(1)式的点x的全体元素，称该点集为S对X的腐蚀(简称腐蚀， 也称X用S腐蚀)，记为。

腐蚀也可以用集合的方式定义：

该式表明， X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。 换句话说， 用S来腐蚀X得到的集合是S完全包含在X中时S的原点位置的集合。　　

　　腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点、 去除小于结构元素的物体、 清除两个物体间的细小连通等。 如果结构元素取3×3的像素块， 腐蚀将使物体的边界沿周边减少1个像素。

“腐蚀”图解：（腐蚀将图像（区域）缩小了）

代码实现：

【注】二值腐蚀基本运算，背景为黑色，目标为白色。

 //二值腐蚀
 /*函数参数：
     a——待腐蚀的图像
     b——腐蚀后的结果
     mat[5][5]——结构元素，我这里默认设了5*5的大小
 */
 void Bi_Corrosion(Mat &a, Mat &b, int mat[][])
 {
     int i, j, k, o;
     int rows = a.rows;
     int cols = a.cols*a.channels();

     bool flag;

     uchar *dst = b.data;
     uchar *src = a.data;
     //针对图像中每一个像素位置，判断是否结构元素能填入目标内部
     for(i = ; i < rows-; i++) {
         for(j = ; j < cols-; j++) {
             //判断结构元素是否可以在当前点填入目标内部，1为可以，0为不可以
             flag = ;
             for(k = -; k <=  && flag; k++) {
                 for(o = -; o <= ; o++) {
                     //如果当前结构元素位置为1，判断与对应图像上的像素点是否为非0
                     if(mat[k+][o+]) {
                         //如果图像当前像素为0，则没有击中该点，不是腐蚀的输出
                         if(!*(src+(i+k)*cols+j+o)){
                             flag = ;    break;
                         }
                     }
                 }
             }
             *(dst+i*cols+j) = flag ?  : ;
         }
     }
 }

2.膨胀

　　腐蚀可以看作是将图像X中每一个与结构元素S全等的子集S+x收缩为点x。 反之， 也可以将X中的每一个点x扩大为S+x， 即膨胀运算， 记为。用集合语言定义膨胀运算的定义形式为：

图示：

【注意】来看下特殊情况：　用B膨胀后，结果向左平移了；而用B图像的反射膨胀后位置不变。

　      　

　　

对于非对称结构S，膨胀后会使得原图错移，但膨胀不会，总的位置和形状不变，因此膨胀公式也可以写做：

对集合X的膨胀也可以看做是对集合X补集的腐蚀的补集具有对偶特性：

腐蚀和膨胀运算与集合运算的关系如下：

代码实现：

【注】二值膨胀基本运算，背景为黑色，目标为白色。

 //二值膨胀
 /*函数参数：
     a——待腐蚀的图像
     b——腐蚀后的结果
     mat——结构元素
 */
 void Bi_Expansion(Mat &a, Mat &b, int mat[][]) {
     int i, j, k, o;
     int rows = a.rows;
     int cols = a.cols*a.channels();
     Mat tmp = a.clone();
     uchar* src = tmp.data;
     //膨胀是对图像中目标补集的腐蚀，因此先求输入图像数据的补集
     for(i = ; i < rows; i++)
         for(j = ; j < cols; j++)
             *(src+i*cols+j) =  - *(src+i*cols+j);
     //膨胀是结构元素的对称集对补集的腐蚀，此处求其反射
     for(i = ; i < ; i++)
         for(j = ; j <= i; j++)
             mat[i][j] = mat[j][i];
     bool flag;
     uchar* dst = b.data;
     //针对图像中每一个像素位置，判断是否结构元素能填入目标内部
     for(i = ; i < rows-; i++) {
         for(j = ; j < cols-; j++) {
             //判断结构元素是否可以在当前点填入目标内部，1为可以，0为不可以
             flag = ;
             for(k = -; k <=  && flag; k++) {
                 for(o = -; o <= ; o++) {
                     //如果当前结构元素位置为1，判断与对应图像上的像素点是否为非0
                     if(mat[k+][o+]) {
                         if(!*(src+(i+k)*cols+j+o)){//没击中
                             flag = ;    break;
                         }
                     }
                 }
             }
             *(dst+i*cols+j) = flag ?  : ;
         }
     }
     //用结构元素对称集对目标补集腐蚀后，还要对结构再求一次补集，才是膨胀结构输出
     //赋值结构元素腐蚀漏掉的区域，使原图像恢复为二值图像
     for(i = ; i < rows; i++) {
         for(j = ; j < cols; j++) {
             *(dst+i*cols+j) =  - *(dst+i*cols+j);
             if(*(dst+i*cols+j) !=  && *(dst+i*cols+j) != )
                 *(dst+i*cols+j) = ;
         }
     }
 }