BZOJ 1598 牛跑步

牛跑步

【问题描述】

BESSIE准备用从牛棚跑到池塘的方法来锻炼. 但是因为她懒,她只准备沿着下坡的路跑到池塘, 然后走回牛棚. BESSIE也不想跑得太远,所以她想走最短的路经. 农场上一共有M (1 <= M <= 10,000)条路, 每条路连接两个用1..N(1 <= N <= 1000)标号的地点. 更方便的是,如果X>Y,则地点X的高度大于地点Y的高度. 地点N是BESSIE的牛棚;地点1是池塘. 很快, BESSIE厌倦了一直走同一条路.所以她想走不同的路,更明确地讲,她想找出K (1 <= K <= 100)条不同的路经.为了避免过度劳累,她想使这K条路经为最短的K条路经. 请帮助BESSIE找出这K条最短路经的长度.你的程序需要读入农场的地图, 一些从X_i到Y_i 的路经和它们的长度(X_i, Y_i, D_i). 所有(X_i, Y_i, D_i)满足(1 <= Y_i < X_i; Y_i < X_i <= N, 1 <= D_i <= 1,000,000).

【输入格式】

* 第1行: 3个数: N, M, 和K

* 第 2..M+1行: 第 i+1 行包含3个数 X_i, Y_i, 和 D_i, 表示一条下坡的路.

【输出格式】

* 第1..K行: 第i行包含第i最短路经的长度,或-1如果这样的路经不存在.如果多条路经有同样的长度,请注意将这些长度逐一列出.

【样例输入】

5 8 7
5 4 1
5 3 1
5 2 1
5 1 1
4 3 4
3 1 1
3 2 1
2 1 1

【样例输出】

1
2
2
3
6
7
-1

【样例解释】

路经分别为(5-1), (5-3-1), (5-2-1), (5-3-2-1), (5-4-3-1),(5-4-3-2-1).

---

题解：

A*，f(n)=h(n)+g(n)，g(n)表示从初始结点到任意结点n的代价，h(n)表示从结点n到目标点的启发式评估代价

启发式函数可以控制A*的行为：

• 一种极端情况，如果h(n)是0，则只有g(n)起作用，此时A*演变成Dijkstra算法，这保证能找到最短路径。
• 如果h(n)经常都比从n移动到目标的实际代价小（或者相等），则A*保证能找到一条最短路径。h(n)越小，A*扩展的结点越多，运行就得越慢。
• 如果h(n)精确地等于从n移动到目标的代价，则A*将会仅仅寻找最佳路径而不扩展别的任何结点，这会运行得非常快。尽管这不可能在所有情况下发生，你仍可以在一些特殊情况下让它们精确地相等（译者：指让h(n)精确地等于实际值）。只要提供完美的信息，A*会运行得很完美，认识这一点很好。
• 如果h(n)有时比从n移动到目标的实际代价高，则A*不能保证找到一条最短路径，但它运行得更快。
• 另一种极端情况，如果h(n)比g(n)大很多，则只有h(n)起作用，A*演变成BFS算法。

　　所以我们得到一个很有趣的情况，那就是我们可以决定我们想要从A*中获得什么。理想情况下，我们想最快地得到最短路径。如果我们的目标太低，我们仍会得到最短路径，不过速度变慢了；如果我们的目标太高，那我们就放弃了最短路径，但A*运行得更快。

摘自：堪称最好的A*算法

此题我们可以直接用单源最短路（Spfa）求出精确的h(n)，根据A*性质那么第k次找到终点的路径就是第k大的路径

 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 inline void Scan(int &x)
 {
     char c;
     bool o = false;
     while(!isdigit(c = getchar())) o = (c != '-') ? o : true;
     x = c - '';
     while(isdigit(c = getchar())) x = x *  + c - '';
     if(o) x = -x;
 }
 const int maxn = 5e3 + ;
 const int maxm = 2e5 + ;
 const double inf = 2e9;
 int n, m, k;
 int ansn, ans[maxn];
 int x[maxm], y[maxm], z[maxm];
 int tot, fir[maxn], nex[maxm], ver[maxm];
 double val[maxm];
 inline void Add(int x, int y, double z)
 {
     nex[++tot] = fir[x];
     fir[x] = tot;
     ver[tot] = y;
     val[tot] = z;
 }
 bool vis[maxn];
 int que[maxn << ];
 double dis[maxn];
 inline void Spfa(int x)
 {
     for(int i = ; i <= n; ++i) dis[i] = inf;
     int head = , tail = ;
     que[tail] = x;
     dis[x] = ;
     vis[x] = true;
     while(head < tail)
     {
         int u = que[++head];
         for(int i = fir[u]; i; i = nex[i])
         {
             int v = ver[i];
             if(dis[v] > dis[u] + val[i])
             {
                 dis[v] = dis[u] + val[i];
                 if(!vis[v])
                 {
                     vis[v] = true;
                     que[++tail] = v;
                 }
             }
         }
         vis[u] = false;
     }
 }
 struct ele
 {
     int num;
     double len;
 };
 priority_queue <ele> p;
 inline bool operator < (ele a, ele b)
 {
     return a.len + dis[a.num] > b.len + dis[b.num];
 }
 inline void Astar()
 {
     ele u, v;
     p.push((ele) {n, });
     while(!p.empty())
     {
         u = p.top();
         p.pop();
         if(u.num == )
         {
             ans[++ansn] = u.len;
             if(ansn == k) return;
         }
         for(int i = fir[u.num]; i; i = nex[i])
         {
             v.num = ver[i];
             v.len = u.len + val[i];
             p.push(v);
         }
     }
 }
 int main()
 {
     Scan(n), Scan(m), Scan(k);
     for(int i = ; i <= m; ++i)
     {
         Scan(x[i]), Scan(y[i]), Scan(z[i]);
         Add(y[i], x[i], z[i]);
     }
     Spfa();
     tot = ;
     memset(fir, , sizeof(fir));
     for(int i = ; i <= m; ++i) Add(x[i], y[i], z[i]);
     memset(ans, , sizeof(ans));
     Astar();
     for(int i = ; i <= k; ++i) printf("%d\n", ans[i] < inf ? ans[i] : -);
 }