【单调队列优化DP】BZOJ1855-[Scoi2010]股票交易

【题目大意】

　　已知第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有APi>=BPi），第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。 股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。 在第1天之前，有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），没有任何股票，求T天之后最多赚到多少钱？

【思路】

f[i][j]表示表示到第i个交易日手中持有至多j股时的最大收益。

1、从前一天不买不卖:f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j])

2、从i-W-1天买股:f[i][j]=max(f[i-W-1][k]-(j-k)*AP[i],f[i][j])

　　f[i][j]=max(f[i-W-1][k]+k*AP[i])-j*AP[i]

　  令g[i-W-1][k]=f[i-W-1][k]+k*AP[i] → f[i][j]=max(g[i-W-1][k]) - j*AP[i]

3、从i-W-1天卖股:f[i][j]=max(f[i-W-1][k]+(k-j)*BP[i],f[i][j])

　　f[i][j]=max(f[i-W-1][k]+k*BP[i])-j*BP[i]。

令g'[i-W-1][k]=f[i-W-1][k]+k*BP[i] → f[i][j]=max(g'[i-W-1][k]) - j*BP[i]

由于对于g[i-W-1][j]与g'[i-W-1][j]均满足：若j1>j2且g[i-W-1][j1]>g[i-W-1][j2]，则不必保留g[i-W-1][j2]。所以可以用单调队列来进行优化。

#关于初始化#f[0][0]=0，对于1~W+1天，仅存在买入操作，初始值为-AP[i]*j。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define pre i-W-1
 #define INF 0x7fffffff
 using namespace std;
 const int MAXN=+;
 struct node
 {
     int f,pos;
 };
 int T,MaxP,W;
 int AP[MAXN],BP[MAXN],AS[MAXN],BS[MAXN];
 int f[MAXN][MAXN];//表示到第i个交易日手中持有j股时的最大收益
 node q[MAXN];

 void init()
 {
     scanf("%d%d%d",&T,&MaxP,&W);
     for (int i=;i<=T;i++) scanf("%d%d%d%d",&AP[i],&BP[i],&AS[i],&BS[i]);
 }

 void dp()
 {
     memset(f,,sizeof(f));
     for(int i=;i<=W+;i++)
     {
         for(int j=;j<=(min(MaxP,AS[i]));j++)
             f[i][j]=-AP[i]*j;//表示前(w+1)天仅有可能进行买入操作
     }
     f[][]=;
     for (int i=;i<=T;i++)
     {
         for (int j=;j<=MaxP;j++) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-][j]);
         if (pre>)
         {
             int head=,tail=;
             for (int j=;j<=MaxP;j++)
             {
                 int nowf=f[pre][j]+AP[i]*j;
                 while (head<tail && q[tail-].f<nowf) tail--;
                 q[tail++]=(node){nowf,j};
                 while (head<tail && q[head].pos<j-AS[i]) head++;
                 f[i][j]=max(f[i][j],q[head].f-AP[i]*j);
             }

             head=,tail=;
             for (int j=MaxP;j>=;j--)
             {
                 int nowf=f[pre][j]+BP[i]*j;
                 while (head<tail && q[tail-].f<nowf) tail--;
                 q[tail++]=(node){nowf,j};
                 while (head<tail && q[head].pos>j+BS[i]) head++;
                 f[i][j]=max(f[i][j],q[head].f-BP[i]*j);
             }
         }
     }
 }

 void getans()
 {
     int ans=-INF;
     for (int i=;i<=MaxP;i++) ans=max(ans,f[T][i]);
     printf("%d\n",ans);
 }

 int main()
 {
     init();
     dp();
     getans();
     return ;
 }