QBXT Day 5图论相关

图论是NOIP的一个非常重要的考点，换句话说，没有图论，NOIP的考纲就得少一大半（虽然很NOIP没有考纲）

图论这玩意吧，和数论一样是非常变态的东西，知识点又多又杂，但是好在一个事，他比较直观比较好想

图

对于一张图而言，我们定义图是一种由边和点构成的的一个玩意（其实是严谨定义我记不住了QWQ，但是不影响学习）

一般来说，图的存储难度主要在记录边的信息
无向图的存储中，只需要将一条无向边拆成两条即可
邻接矩阵：用一个二维数组 edg[N][N] 表示
edg[i][j] 就对应由
i 到 j 的边信息
edg[i][j] 可以记录 Bool，也可以记录边权
缺点：如果有重边有时候不好处理
空间复杂度 O(V^2)

点度等额外信息也是很好维护的

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = ;

int ideg[N], odeg[N], n, m, edg[N][N];
bool visited[N];

void travel(int u, int distance)
{
    cout << u << " " << distance << endl; visited[u] = true;
    for (int v = ; v <= n; v++)
        if (edg[u][v] != - && !visited[v])//是否已经访问过
            travel(v, distance + edg[u][v]); //if there is an edge (u, v) and v has not been visited, then travel(v)
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(edg, -, sizeof edg);
    memset(visited, false, sizeof visited);
    for (int u, v, w, i = ; i <= m; i++)
        cin >> u >> v >> w, edg[u][v] = w, odeg[u]++, ideg[v]++;//出度和入度
    for (int i = ; i <= n; i++)
        cout << ideg[i] << " " << odeg[i] << endl;
    for (int i = ; i <= n; i++)
        if (!visited[i]) travel(i, );
}

/*
Given a graph with N nodes and M unidirectional edges.
Each edge e_i starts from u_i to v_i and weights w_i
Output a travelsal from node 1 and output degree of each node.
*/

其实这个英文注释也还蛮不错的啊

邻接矩阵本质上其实就是一个二维数组，它在存储一个稠密图的时候效率比较好，但是稀松图的话就非常浪费空间

所以我们就没有必要用二维数组记录信息，我们只需要对每一个点记录他的出边就行

这样记的话，复杂度就是他的边数

对每一个点 u 记录一个 List[u]，包含所有从 u 出发的边
直接用数组实现 List[u]？读入边之前不知道 List[u] 长度
手写链表（链式前向星）
用 STL 中的 vector 实现变长数组，当然你想要手写指针也没问题
只需要 O(V + E) 的空间就能实现图的存储（边数加点数）

其实写这个链表存储0有很多方式啊，你可以用指针，手写指针，也可以用vector ，还可以用数组毛模拟

我们详细理解一下代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = ;

struct edge {
    int u, v, w; edge *next;//next指针指向
    edge(int _u, int _v, int _w, edge *_next):
        u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) {}
};
edge *head[N]; //List[u] 最前面的节点是谁
int ideg[N], odeg[N], n, m;
bool visited[N];

void add(int u, int v, int w)
{
    edge *e = new edge(u, v, w, head[u]);
    head[u] = e;
}
void travel(int u, int distance)
{
    cout << u << " " << distance << endl; visited[u] = true;
    for (edge *e = head[u]; e ; e = e -> next)
        if (!visited[e -> v])
            travel(e -> v, distance + e -> w); //if there is an edge (u, v) and v has not been visited, then travel(v)
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(visited, false, sizeof visited);
    memset(head, , sizeof head);
    for (int u, v, w, i = ; i <= m; i++)
        cin >> u >> v >> w, add(u, v, w), odeg[u]++, ideg[v]++;
    for (int i = ; i <= n; i++)
        cout << ideg[i] << " " << odeg[i] << endl;
    for (int i = ; i <= n; i++)
        if (!visited[i]) travel(i, );
}

/*
Given a graph with N nodes and M unidirectional edges.
Each edge e_i starts from u_i to v_i and weights w_i
Output a travelsal from node 1 and output degree of each node.
*/

但是我个人是不用指针的，因为可能还是不习惯的原因吧，而且指针的写法并没有什么特别的优点

还有一个数组模拟版本

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = ;

struct edge {
    int u, v, w, next;
}edg[N];
int head[N]; //List[u] stores all edges start from u
int ideg[N], odeg[N], n, m, cnt; //cnt: numbers of edges
bool visited[N];

void add(int u, int v, int w)
{
    int e = ++cnt;
    edg[e] = (edge){u, v, w, head[u]};
    head[u] = e;
}
void travel(int u, int distance)
{
    cout << u << " " << distance << endl; visited[u] = true;
    for (int e = head[u]; e ; e = edg[e].next)
        if (!visited[edg[e].v])
            travel(edg[e].v, distance + edg[e].w); //if there is an edge (u, v) and v has not been visited, then travel(v)
}
int main()
{
    cin >> n >> m; cnt = ;
    memset(visited, false, sizeof visited);
    memset(head, , sizeof head);
    for (int u, v, w, i = ; i <= m; i++)
        cin >> u >> v >> w, add(u, v, w), odeg[u]++, ideg[v]++;
    for (int i = ; i <= n; i++)
        cout << ideg[i] << " " << odeg[i] << endl;
    for (int i = ; i <= n; i++)
        if (!visited[i]) travel(i, );
}

/*
Given a graph with N nodes and M unidirectional edges.
Each edge e_i starts from u_i to v_i and weights w_i
Output a travelsal from node 1 and output degree of each node.
*/

但是数组模拟必然是逃不开浪费时间过多的，这个事就很讨厌了，邻接矩阵以其优秀的可读性以及构造性换来了不少空间，唉

我个人现在是这样的，判断变数和点数的值，如果差别较大，那么出题人可能是想构造菊花树之类的，差别较小就意味着稠密，那么写邻接矩阵更节省时间（前提是你两个都能用）

还有一种写法是用vector

抛去邻接矩阵不讲，如果我们用edg[u][i]表示从u出发的第i条边，这样实际上还是O(n^2)的，所以我们要用一个能够自己改变长度的STL，这样能让空间最大化

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = ;

struct edge {
    int u, v, w;
};
vector<edge> edg[N]; //edge记录变长数组记录的是什么类型
int ideg[N], odeg[N], n, m, cnt; //cnt: numbers of edges
bool visited[N];

void add(int u, int v, int w)
{
    edg[u].push_back((edge){u, v, w});//一个强制类型转换
}
void travel(int u, int distance)
{
    cout << u << " " << distance << endl; visited[u] = true;
    for (int e = ; e < edg[u].size(); e++)//遍历边
        if (!visited[edg[u][e].v])//以u出发的第e条出边
            travel(edg[u][e].v, distance + edg[u][e].w); //if there is an edge (u, v) and v has not been visited, then travel(v)
}
int main()
{
    cin >> n >> m; cnt = ;
    memset(visited, false, sizeof visited);
    for (int u, v, w, i = ; i <= m; i++)
        cin >> u >> v >> w, add(u, v, w), odeg[u]++, ideg[v]++;
    for (int i = ; i <= n; i++)
        cout << ideg[i] << " " << odeg[i] << endl;
    for (int i = ; i <= n; i++)
        if (!visited[i]) travel(i, );
}

/*
Given a graph with N nodes and M unidirectional edges.
Each edge e_i starts from u_i to v_i and weights w_i
Output a travelsal from node 1 and output degree of each node.
*/

要注意的是，c++的STL数组默认都是以0为结尾的、

vector是这样构造的

<>里面写的是变量类型，可以是int 或者float或者结构体

生成树

我们考虑一个联通的无向图，我们考虑找出这个图当中的子图（点的数量是一样的，可以删掉边）

给定一个连通无向图 G = (V; E)
E′ ⊂ E
G′ =
(V; E′) 构成一棵树
G′ 就是 G 的一个生成树

而且我们可以发现生成树不是唯一的，而且我们可以知道的是生成树的数量是指数级别的

那么最小生成树其实就是生成树当中最大边权的值最小

怎么求呢？

Algorithms for Minimal Spanning Tree：
Kruskal
Prim
Kosaraju

Kruskal

克鲁斯卡尔的思想是贪心加上并查集

我们只把所有的边的信息存下来，而不用存图（因为最小生成树只问你最小边权和之类的问题，而不文）

，对于所有的边权进行排序，找到当前边权最小的边 e : (u; v)
如果 u 和 v 已经连通，则直接删除这条边（这里的判断就是用并查集的思想，如果最终并查集的指向指到了一个同一个点，那么就是联通的啊）
如果 u 和 v 已经未连通，将之加入生成树
重复上述过程

这个称为Rigorous proof（消圈算法）

Kruskal的证明方法很迷啊，就感性理解一下就好

毕竟贪心这东西证明正确性还是挺困难的。

Prim的做法是，我们找一个连通块，我们把和这个连通块最短的点加到连通块当中去（这俩都可以用堆优化）

Kosaraju的做法是，我们有很多连通块，然后第一轮的时候对于每一个连通块找到和它相连的最短的边，就把这两个集合连接起来