#2025. 「JLOI / SHOI2016」方

 

题目描述

上帝说,不要圆,要方,于是便有了这道题。

由于我们应该方,而且最好能够尽量方,所以上帝派我们来找正方形。上帝把我们派到了一个有 NNN 行 MMM 列的方格图上,图上一共有 (N+1)×(M+1)(N + 1) \times (M + 1)(N+1)×(M+1) 个格点,我们需要做的就是找出这些格点形成了多少个正方形(换句话说,正方形的四个顶点都是格点)。

但是这个问题对于我们来说太难了,因为点数太多了,所以上帝删掉了这 (N+1)×(M+1)(N + 1) \times (M + 1)(N+1)×(M+1) 中的 KKK 个点。既然点变少了,问题也就变简单了,那么这个时候这些格点组成了多少个正方形呢?

输入格式

第一行包含三个整数 NNN,MMM,KKK,代表棋盘的行数、列数和不能选取的顶点个数。 保证 N,M≤1N, M \leq 1N,M≤1,K≤(N+1)×(M+1)K \leq (N + 1) \times (M + 1)K≤(N+1)×(M+1)。
接下来 KKK 行,每行包含两个正整数 XXX,YYY,代表第 XXX 行第 YYY 列的格点被删掉了。保证 0≤X≤N,0≤Y≤M0 \leq X \leq N, 0 \leq Y \leq M0≤X≤N,0≤Y≤M,且不会出现重复的格点。约定每行的格点从上到下依次用整数 000 到 NNN 编号,每列的格点依次用 000 到 MMM 编号。

输出格式

输出一个正整数,代表正方形个数对 100000007100\,000\,007100000007(108+710^8 + 710​8​​+7)取模之后的数值。

样例

样例输入 1

2 2 4
1 0
1 2
0 1
2 1

样例输出 1

1

样例解释 1

如图所示,我们删掉了其中的四个格点,那么剩下的唯一的正方形便是最大的 2×22 \times 22×2 的正方形了。

样例输入 2

7 10 5
2 3
1 5
6 2
3 5
2 6

样例输出 2

429

样例输入 3

2 2 4
0 0
2 2
0 2
2 0

样例输出 3

1

样例解释 3

还剩下一个边长为 2\sqrt 2√​2​​​ 的正方形。

数据范围与提示

Case # N,MN, MN,M KKK
1, 2 ≤5\leq 5≤5 ≤25\leq 25≤25
3, 4 ≤50\leq 50≤50 ≤50\leq 50≤50
5, 6 ≤106\leq 10^6≤10​6​​ =0= 0=0
7, 8 ≤106\leq 10^6≤10​6​​ ≤50\leq 50≤50
9, 10 ≤106\leq 10^6≤10​6​​ ≤200\leq 200≤200
11, 12 ≤103\leq 10^3≤10​3​​ ≤2×103\leq 2 \times 10^3≤2×10​3​​
13 ~ 20 ≤106\leq 10^6≤10​6​​ ≤2×103\leq 2 \times 10^3≤2×10​3​​
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#define mod 100000007
#define maxn 2010
#define gets(x,y) (1LL*((x)+(y))*((y)-(x)+1)>>1)
using namespace std;
int n,m,cnt,ans,t1,t2,t3,t4,a[maxn],b[maxn];
struct node{
int tot,fst[],px[maxn],py[maxn],nxt[maxn];
void insert(int x,int y){
int z=(x*+y)%;
px[++tot]=x;py[tot]=y;
nxt[tot]=fst[z];fst[z]=tot;
}
int find(int x,int y){
int z=(x*+y)%;
for(int p=fst[z];p;p=nxt[p])
if(px[p]==x && py[p]==y)return ;
return ;
}
}hash;
bool inmp(int x,int y){return x>=&&x<=m&&y>=&&y<=n;}
void calc(int x,int y,int z){
if(!x||!y||z<)return;
z=min(z,x+y);
x=min(x,z-);
y=min(y,z-);
t1=(t1+1LL*(z-y)*y)%mod;
t1=(t1+gets(z-x,y-))%mod;
}
void update(int u1,int v1,int u2,int v2){
if(inmp(u1,v1)&&inmp(u2,v2)){
int tmp=hash.find(u1,v1)+hash.find(u2,v2);
t2++;t3+=tmp;
if(tmp>)t4++;
}
}
void solve(int x1,int y1,int x2,int y2){
int dx=x2-x1,dy=y2-y1;
update(x1+dy,y1-dx,x2+dy,y2-dx);
update(x1-dy,y1+dx,x2-dy,y2+dx);
if(abs(dx+dy)&)return;
dy=(dx+dy)>>;dx-=dy;
update(x1+dx,y1+dy,x2-dx,y2-dy);
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&m,&n,&cnt);
for(int i=;i<=cnt;i++){
scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
hash.insert(a[i],b[i]);
}
for(int i=;i<=m && i<=n;i++)
ans=(ans+1LL*i*(m-i+)%mod*(n-i+))%mod;
for(int i=;i<=cnt;i++){
calc(a[i],m-a[i],b[i]);
calc(a[i],m-a[i],n-b[i]); calc(b[i],n-b[i],a[i]);
calc(b[i],n-b[i],m-a[i]);
t1=(t1+min(a[i],b[i])+min(a[i],n-b[i])+min(m-a[i],b[i])+min(m-a[i],n-b[i]))%mod;
for(int j=;j<i;j++)
solve(a[i],b[i],a[j],b[j]);
}
printf("%d",(ans-t1+t2-t3/+t4/+mod)%mod);
return ;
}

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