Luogu P2066 机器分配(dp)

P2066 机器分配

题面

题目背景

无

题目描述

总公司拥有高效设备 \(M\) 台，准备分给下属的 \(N\) 个分公司。各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这 \(M\) 台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中 \(M \leq 15, N \leq 10\) 。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数 \(M\) 。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个数，第一个数是分公司数 \(N\) ，第二个数是设备台数 \(M\) 。

接下来是一个 \(N*M\) 的矩阵，表明了第 \(I\) 个公司分配 \(J\) 台机器的盈利。

输出格式：

第 \(1\) 行为最大盈利值

第 \(2\) 到第 \(n\) 为第 \(i\) 分公司分 \(x\) 台

\(P.S.\) 要求答案的字典序最小

输入输出样例

输入样例：

3 3
30 40 50
20 30 50
20 25 30

输出样例：

70
1 1
2 1
3 1

思路

设计 \(dp[i]\) 表示分配 \(i\) 台机器后能获得的最大盈利，定义 \(a[i][j]\) 为 \(i\) 公司在得到 \(j\) 台机器后能获得的利益，那么就有：

\[dp[i]=max \{ dp[i-k]+a[j][k](j \in [1,n],i \in [1,m]) \}
\]

代码实现的话可以这样写：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>=0;j--)
        for(int k=j;k>=0;k--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-k]+a[i][k]);

这样我们就能解决第一个问题。

那如何解决第二个问题呢？我们可以再定义一个变量 \(way[i][j]\) 表示分配出 \(i\) 台机器并得到最优解时第 \(j\) 家公司应该被分配 \(way[i][j]\) 台机器，那么每当 \(dp[i]\) 被更新时我们就需要来更新 \(way\) ：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>=0;j--)
        for(int k=j;k>=0;k--)
            if(dp[j]<dp[j-k]+a[i][k])
                dp[j]=dp[j-k]+a[i][k],way[j][i]=k;

等会！题目还有一个要求我们没有管：

\(P.S.\) 要求答案的字典序最小

实际上，我们这样更新时，因为是从前往后更新，所以本身就是按照字典序来更新的，所以就不用再管了。而得到题目要求的解时，我们就可以这样操作了：

for(int i=n;i;i--) ans[i]=way[m][i],m-=way[m][i];

接下来输出 \(ans\) 数组就好啦。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[20][20],dp[20],way[20][20],ans[20];
int read()
{
    int re=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return re;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=0;j--)
            for(int k=j;k>=0;k--)
                if(dp[j]<dp[j-k]+a[i][k])
                    dp[j]=dp[j-k]+a[i][k],way[j][i]=k;
    printf("%d",dp[m]);
    for(int i=n;i;i--) ans[i]=way[m][i],m-=way[m][i];
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("\n%d %d",i,ans[i]);
    return 0;
}