LeetCode-96. Unique Binary Search Trees

Description:

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

问题大意：给一个整数n，计算出节点数为n的二叉查找树的种类。

这个题目最简单的思路应该是递归构造二叉查找树，让每个节点都成为根节点。这样时间复杂度较高。还有一种动态规划法。描述如下：

假如整个树有 n 个节点，根节点为 1 个节点，两个子树平分剩下的 n-1 个节点。

假设我们已经知道节点数量为 x 的二叉树有dp[x]种不同的形态。

则一颗二叉树左节点节点数量为 k 时，其形态数为dp[k] * dp[n - 1 - k]。

而对于一颗 n 个节点的二叉树，其两个子树分配节点的方案有 n-1 种：

(0, n-1), (1, n-2), ..., (n-1, 0)

因此我们可以得到对于 n 个节点的二叉树，其形态有：

Sigma(dp[i] * dp[n-1-i]) | i = 0 .. n-1

并且可以发现，dp数组有递推关系，我们可以使用递推或是记忆化搜索来实现。

边界条件为dp[0] = 1。

以上分析来源这里

Java代码：

public class Solution {

    int[] rc;

    public int numTrees(int n) {
        rc = new int[n+1];
        Arrays.fill(rc, 0);
        return dp(n);
    }

    public int dp(int nodes) {
        if(nodes <= 1)
            return 1;
        if(rc[nodes] != 0)
            return rc[nodes];

        int numTrees = 0;
        for(int i=0; i<nodes; i++) {
            numTrees += dp(i) * dp(nodes-i-1);
        }
        rc[nodes] = numTrees;

        return numTrees;
    }
}