最小函数值 洛谷P2085

题目描述:

         有n个函数，分别为F1,F2,...,Fn。定义Fi(x)=Ai*x^2+Bi*x+Ci (x∈N*)。给定这些Ai、Bi和Ci，请求出所有函数的所有函数值中最小的m个（如有重复的要输出多个）。

   输入样例：

 3 10
 4 5 3
 3 4 5
 1 7 1

   输出样例：

 9 12 12 19 25 29 31 44 45 54
题目分析：
（MLE，TLE做法）看到题目我们第一眼肯定想到的是将每个函数枚举m次，然后对这n*m个数进行排序，输出前m个。代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define MAXSIZE 100000000+20
 #define MAXN 10000+20
 int a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
 int num[MAXSIZE];

 int main(){
     int n,m,k=;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             num[k++]=a[i]*j*j+b[i]*j+c[i];
     std::sort(num+,num+k);
     for(int i=;i<=m;i++)
         printf("%d ",num[i]);
     return ;
 }

   　　这样做的正确性是显而易见的：题目要求给出最小的M个数，这最小的M个数是由这N个函数生成的，最坏情况就是这M个数都由一个函数生成。那么即使这样，x的最大值也只是等于M，因为我们都知道：当二次函数y=ax2+bx+c(a>0)时，抛物线开口朝上，y随x增大而增大。所以当x1=i,x2=j(i,j∈N+,i<j)时y1<y2，所以我们对于同一个函数来说，x越小生成的数越小，这点在AC的算法中有很重要的作用。

　　　通过上面所说的，我们可以得知x最大值也只是等于M，也就是说我们的枚举区间就是1~m。我们需要对每个函数都枚举一遍，所以这一步的时间复杂度是O(n*m)，最高是一亿，暂时还没超时，但是这是无序的，也就是说我们要将这n*m个数排序。

　　　假设我们用的是最快的快排，没被卡快排，那么这一步的时间复杂度就是O(n*m*log2(n*m));总体时间复杂度就是O(n*m*log2(n*m))，对于n=10000，m=10000，这个时间复杂度明显超时，况且我们还要花O(n*m)空间开销，这也是吃不消的。

　（AC做法）因为全部都算出来再排序输出必然超时，所以我们必须想办法减少算出来的值。在做出TLE且MLE的做法的时候，我们就证明了对于同一个函数而言，x越小生成的数越小，那我们不难画出下面这个表：

与x+1的关系	x的值	1	2	3	4	5	6	7	8
函数		<	<	<	<	<	<	<	<
f1		<	<	<	<	<	<	<	<
f2		<	<	<	<	<	<	<	<
f3		<	<	<	<	<	<	<	<
f4		<	<	<	<	<	<	<	<
f5		<	<	<	<	<	<	<	<
f6		<	<	<	<	<	<	<	<
f7		<	<	<	<	<	<	<	<
...		<	<	<	<	<	<	<	<

 

假设xi=1,xj=1时fi<fj
则xi=1,xj=xj+1时fi<fj
则当只存在fi和fj时xi=1时fi为最小值
稍加思考，我们可以想到下面一种贪心算法：
　　一开始先取每个函数中x=1时的值，输出这中间最小的，然后将最小的更新为x=2时的情况，再输出最小的......
　　说到最小，就想到了用最小堆实现，代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define min(a,b) (((a)<(b))?(a):(b))
 using std::swap;
 struct h{
     int data;
     int place;
 }heap[+];
 bool operator < (const h &X,const h &Y){           //重载小于号
         return X.data<Y.data;
     }
 int a[+],b[+],c[+];
 int x[+];
 int n;
 void put(int i){
     while(i*+<=n){
         if(min(heap[i*],heap[i*+])<heap[i]){   //比较左儿子和右儿子
             if(heap[i*]<heap[i*+]){
                 swap(heap[i*],heap[i]);
                 i*=;
             }else{
                 swap(heap[i*+],heap[i]);
                 i*=;
                 i++;
             }
         }else
             break;
     }if(i*<=n&&heap[i*]<heap[i]){
         swap(heap[i*],heap[i]);
         i*=;
     }
 }

 int main(){
     int m;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
     for(int i=;i<=n;i++){
         x[i]=;                                          //保存每个函数的x用到了几
         heap[i].data=a[i]+b[i]+c[i];                     //当x=1的情况
         heap[i].place=i;
     }
     for(int i=n;i>=;i--){
         put(i);                                           //建堆
     }
     for(int i=;i<=m;i++){
         printf("%d ",heap[].data);
         int &k=heap[].place;
         heap[].data=heap[].data+*a[k]*x[k]+a[k]+b[k];    //自己去算，不想讲，初二数学--完全平方式
         x[heap[].place]++;
         put();
     }
     return ;
 }

时间复杂度O((n+m)log2n),最坏情况20000*log2（10000）≈280000不会超时
空间复杂度O(n)最坏10000，约0.04MB,离上限128MB很远。