(acwing蓝桥杯c++AB组）2.1 二分

二分与前缀和

文章目录

• 二分与前缀和
• • 二分
  • • 整数二分核心思想
    • 整数二分模板
    • 整数二分步骤总结：
    • • 题目链接
    • 实数二分核心思想：
    • • 题目链接
    • 三分法思想：

二分

难点：二分的边界问题

整数二分核心思想

1. 确定一个区间，使得目标值一定在区间中。

2. 找一个性质满足：（对于百分之95的二分拥有这个性质）

   • 性质具有二段性。
   • 答案是二段性的分界点。

整数二分模板

对于整数二分我们分为两类：
有的小伙伴就要问了：为什么是分成2类而不是1类3类呢？
答：我们来看这么一种情况
对于一组序列如下：要求找到值为5的第一个数和最后一个数，返回对应下标。

值	3	4	5	5	5	8	10
数组下标	0	1	2	3	4	5	6

不难发现我们需要两个模板，使得一个板子二分结果为2，一个板子二分结果为4。

代码如下：

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/277/
来源：AcWing
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整数二分步骤总结：

1. 找一个区间[L,R]，使得答案一定在该区间中。
2. 找一个判断条件，使得该判断条件具有二段性，并且答案一定是该二段性的分界点。
3. 分析终点M在在该判断条件下是否成立，如果成立，考虑答案在哪个区间。
4. 如果更新方式写的是R=Mid，则不用做任何处理；如果更新方式写的是L=Mid，则需要再计算Mid时加上1。

题目链接

789. 数的范围 - AcWing题库

下面是本节课总的题单，涉及前缀和等可以先不看跳过。

实数二分核心思想：

实数二分相对于整数比较简单，因为中点是基本可以取到的，没有整数一会加1，一会减去1这么绕。

加一减一无需考虑，可以说是非常简单了（滑稽，第一遍写还是WA了）。只需注意浮点数精度丢失问题，取误差在1e-8即可。

题目链接

790. 数的三次方根 - AcWing题库

三分法思想：

用的不多，这里简单提一下。

对于下图的函数，我们为了找值可以采取对斜率二分（求导即可）。或者，采取下图的三分法，当重复多次后，l与r无线逼近即可。