洛谷P11250 [GESP202409 八级] 手套配对 题解

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非常简单的组合数学题。

首先从 \(n\) 对手套中恰好选出 \(k\) 对手套的方案数为 \(C_n^k\)，然后由于我们要取出 \(m\) 只手套，那么取了 \(k\) 对手套后还要取 \(m-2k\) 只手套，我们得保证后面取的这 \(m-2k\) 对手套配不出一对手套，根据鸽笼原理，在最坏情况下，我们从 \(n-k\) 对手套中选不超过 \(n-k\) 只手套，是选不出一对手套的，于是我们就按照这种情况算，于是我们得出了 \(C_{n-k}^{m-2k}\)，然后由于我们会选到一对手套的左手或右手，所以我们还要乘上 \(2^{m-2k}\)，所以最后的答案为 \(C_n^k \times C_{n-k}^{m-2k} \times 2^{m-2k}\)。

至于什么是鸽笼原理，就是比如说班上如果有超过 \(12\) 个人一定有两个人出生月份相同，这就是鸽笼原理，证明也很简单，这里就不多说了。

然后由于这道题 \(1 \le n \le 1000\)，直接使用组合数公式 \(C_n^m = C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\)，两遍 for 循环就能解决。

哦，当 \(m \le 2k\) 时，无解，因为无法选出 \(k\) 对手套，还有，就是当 \(m-2k>n-k\) 时，根据鸽笼原理很容易得出此时也是无解，配出的手套数量一定大于 \(k\)。但是这个无解情况是不用判断的，因为我们求组合数的数组 \(c\) 是全局数组，系统一开始会全部初始化为 \(0\)，这样子当 \(m-2k>n-k\) 时，算出的组合数一定是 \(0\)，\(0\) 乘任何数都等于 \(0\)，所以不用判断这种情况。

十年 OI 一场空，不开 long long 见祖宗。

计算二的次幂时请使用快速幂或者预处理，不要使用左移或者 pow 函数，否则就会见祖宗！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9+7;
const int N = 2e3+5;
int c[N][N],f[N];
signed main()
{
 	int _;
	scanf("%lld",&_);
	for(int i = 0;i<=N-5;i++)
	{
		for(int j = 0;j<=i;j++)
		{
			c[i][j] = !j?1:(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
		}
	}
	f[0] = 1;
	for(int i = 1;i<=N-5;i++)
	{
		f[i] = f[i-1]*2%mod;
	}
	while(_--)
	{
		int n,m,k;
		scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&k);
		if(m<2*k)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		printf("%lld\n",c[n][k]*c[n-k][m-2*k]%mod*f[m-2*k]%mod);
	}
    return 0;
}