Luogu P5089 元素周期表 / Codeforces 1012B Chemical table 题解 [ 并查集 ] [ 二分图 ] [ 图论建模 ] [ 棋盘覆盖问题 ]

双倍经验：Luogu P5089 元素周期表 ，CF1012B Chemical table：模拟赛搬的好题，有点厉害。赛时10min码的假贪心拿了五十多分，赢。

并查集思路 1

对于此类棋盘整行整列覆盖问题，有一个通用思路：把每一行和每一列看作一个点，那么原本棋盘上的格子就可以看作是连接这些点的边。例如一个点是 \((x,y)\) ，那么我们就可以把行 \(x\) 代表的点与列 \(y\) 代表的点连一条边。

这样做的原因是如果确定了行与列，那么我们就可以确定唯一的点。并且本题还是整行整列地进行覆盖的，数据范围较大，只能通过此类表达方式来把原来 \(10^{12}\) 级别的点，化为 \(10^{12}\) 级别的边；剩下点的个数就为 \(2 \times 10^6\) 级别。

一些这种图的性质：

• 如果第 \(i\) 行与第 \(j\) 列联通，可以当成格子 \((i,j)\) 处有一个点。
• 本质上是把每个已有的格子，从横纵两个方向散开直线，这些直线只要形成交点，就是一个连通块。在本题中这么应用，是因为只要有 \(3\) 个点，我们就可以确定一个矩形。

接下来思考核聚变的过程：

对于点 \((x_1,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_1),(x_2,y_2)\) 组成一个矩形 ，我们先假设 \((x_2,y_2)\) 还没有生成。

那么连出的图就长这样：（圆表示 \(x\) ，方表示 \(y\) 。）

可以发现，点 \(x_2\) 与点 \(y_2\) 已经是联通的了，并且由于上述的第一条性质：如果第 \(i\) 行与第 \(j\) 列联通，可以当成格子 \((i,j)\) 处有一个点。此时的点已经自动被拓展了出来。

于是，我们只需要把 \(n+m\) 个所有的点都合并成一个连通块，就可以了。

这个过程可以用并查集维护。

合并的次数就是连通块的个数 \(-1\) 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,q,f[2000005],ans=0;
void init()
{
	for(int i=1;i<=n+m;i++)f[i]=i;
}
int findf(int x)
{
	if(f[x]!=x)f[x]=findf(f[x]);
	return f[x];
}
void combine(int x,int y)
{
	int fx=findf(x),fy=findf(y);
	f[fx]=fy;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m>>q;
	init();
	while(q--)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		combine(x,y+n);
	}
	for(int i=1;i<=n+m;i++)
	{
		ans+=(findf(i)==i);
	}
	cout<<ans-1;
	return 0;
}

并查集思路 2

某位金钩爷的做法，有点复杂，但也好理解。这种做法是单纯从本题的生成点的性质入手，而上一种做法就是单纯从套路上入手。

首先我们画个图：

可以发现，如果相邻两行的同一列有棋子（蓝色部分），那么这两行就完全同步状态了。例如我们往第一行加上一些绿色点，那么我们下面的紫色部分也会加上一些点。他们的状态是完全同步的。

进一步拓展结论，就可以得到如果任意两行的同一列有棋子，那么这两行就同步状态了，所以他们就成连通块了。

最终我们拓展完后，一定会形成一些没有相同列的连通块。

于是我们一开始就把行看成点，对有相同列的进行合并，统计连通块个数（空行不能和空行算一个连通块）。

然后特判一下有没有空列，答案就是连通块个数 \(-1\) 加上空列个数。

比上一种好理解一点。代码就不写了，我懒。

二分图思路

和并查集思路 1 的做法差不多，把二分图分成上面行一部分，下面列一部分，然后照常合并。

然后遇到不连通的部分合并一下，统计一下就好了。基本和并查集一样。

代码就不写了，我懒。*2