min-max 容斥

$\min - \max$ 容斥

Part 1

对于简单的$\min - \max$容斥有一般形式，表达为：$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\times \min(T)$

对于上述式子，可以简单的理解。

对于$S$中的每一项，其中的最大值为第$i$项

由于$|T|$非空，一共有$2^{|S|}-1$个$T$，其中，对于非最大值的任意一项，都包含至少一个比其大的元素

所以这些元素的选择情况构成了$2^{k}$幂，其中$|T|$的奇偶分布相同，所以相互抵消

而最大元素只有一个，所以会保留

显然对$\min(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\times \max(S)$同样成立

Part 2

有关推广

对于期望，该容斥同样成立

也就是说：$E(\max(S))=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\times E(\min(T))$

具体证明是来自期望的线性性

我忘记了qwq

Part 3

$k\max-\min$容斥

对于每个元素在答案中的贡献显然为$[n-x+1=k]$

那么套上容斥系数：$[n-x+1=k]=\sum\limits_{i=0}^{n-x}C(n-x,i)\times f(i+1)$

也就是说：$[x+1=k]=\sum\limits_{i=0}^x C(x,i)\times f(i+1)$

这是个二项式反演没错了：$f(x+1)=\sum\limits_{i=0}^x (-1)^{x-i}\times C(x,i)\times [i=k-1]=(-1)^{x-k+1}\times C(x,k-1)$

然后化简：$f(x)=(-1)^{x-k}\times C(x-1,k-1)$

这是容斥系数qwq

那么就可以写出来：$k\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-k}\times C(|T|-1,k-1)\times \min(S)$

Part 4

对于上述$k\max (S)$同样满足对期望成立...

所以就上例题了qwq

重返现世

你发现，这就是个板子qwq

$ans=\sum\limits_{S}(-1)^{|S|-k}\times C(|S|-1,k-1)\times \min(S)$

显然，对于$\min (S)=\frac{m}{\sum\limits_{x\in S}P_x}$

所以直接DP就好了qwq