【Luogu3381】【模板】缩点

本文同步发表于https://www.zybuluo.com/Gary-Ying/note/1235385

题目描述

给定一个n个点m条边有向图，每个点有一个权值，求一条路径，使路径经过的点权值之和最大。你只需要求出这个权值和。

允许多次经过一条边或者一个点，但是，重复经过的点，权值只计算一次。

输入输出格式

输入格式：

第一行，n,m

第二行，n个整数，依次代表点权

第三至m+2行，每行两个整数u,v，表示u->v有一条有向边

输出格式：

共一行，最大的点权之和。

样例输入

2 2
1 1
1 2
2 1

样例输出

2

数据范围

\(n<=10^4\),\(m<=10^5\),\(点权<=1000\)

题解

算法

正如题目名称所说，这道题需要使用缩点的技巧，那么这是为什么呢？

我们可以把一个强连通分量近似看作一个环，由于这道题中边权只能取1次，每个点和每条边可以经过多次，所以一个强连通分量中的点一定可以全部取到。并且强连通分量中各点的出边可以看做是同一点的出边。于是我们可以高兴地说：

这道题中一个强连通分量相当于一个点，我们可以缩点了！

缩点以后图就变成了DAG（有向无环图），对于有向无环图，注定是要与拓扑排序为伴的。DP转移方程如下：(dp[v]表示走到v点的最大路径长度，a[v]表示v这个强连通分量中所有点的点权之和）

\[dp[v]=max\{dp[u]+a[v]\}
\]

转移的条件是存在边(u,v)。用拓扑排序转移DP即可（避免后效性，保证处理v的转移时u的转移已经处理）。

易错点（其实就是我错的）

1、第37行：if (vis[v])low[u] = min(low[u], dfn[v]);

2、

for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (!dfn[i])tarjan(i);

3、 第84行：addedge1(color[i],color[v]);

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int maxn = 10007;
const int maxm = 100007;
int n, m;
int c[maxn], a[maxn];
int edgenum, head[maxn], Next[maxm], vet[maxm];
int edgenum1, head1[maxn], Next1[maxm], vet1[maxm];
int dfn[maxn], low[maxn], stamp;
int stack[maxn], top, color[maxn], num;
int init[maxn];
bool vis[maxn];

void addedge(int u, int v){
	++edgenum;
	vet[edgenum] = v;
	Next[edgenum] = head[u];
	head[u] = edgenum;
}
void addedge1(int u, int v){
	++edgenum1;
	vet1[edgenum1] = v;
	Next1[edgenum1] = head1[u];
	head1[u] = edgenum1;
	++init[v];
}
void tarjan(int u){
	dfn[u] = low[u] = ++stamp;
	stack[++top] = u; vis[u] = true;
	for (int e = head[u]; e; e = Next[e]){
		int v = vet[e];
		if (!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
		}else if (vis[v])low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
	if (dfn[u] == low[u]){
		color[u] = ++num; vis[u] = false;
		while (stack[top] != u) vis[stack[top]] = false, color[stack[top--]] = num;
		--top;
	}
}

void tp(){
	int head = 0, tail = -1, que[maxn], dp[maxn];
	for (int i = 1; i <= num; ++i) {
		if (init[i] == 0){
			que[++tail] = i;
		}
		dp[i] = a[i];
	}
	while (head <= tail){
		int u = que[head]; ++head;
		for (int e = head1[u]; e; e = Next1[e]){
			int v = vet1[e];
			--init[v];
			if (init[v] == 0) que[++tail] = v;
			dp[v] = max(dp[v], dp[u] + a[v]);
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= num; ++i)
		if (dp[i] > ans) ans = dp[i];
	printf("%d\n", ans);
}

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%d", &c[i]);
	for (int i = 1; i <= m; ++i){
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		addedge(u,v);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if (!dfn[i])tarjan(i);
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		for (int e = head[i]; e; e = Next[e]){
			int v = vet[e];
			if (color[i]!=color[v]){
				addedge1(color[i],color[v]);
			}
		}
		a[color[i]] += c[i];
	}
	tp();
	return 0;
}