P4831-Scarlet loves WenHuaKe【组合数学】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4831

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题目大意

\(n*m\)的网格上放置\(2n\)个炮，要求互不能攻击。

数据满足\(n\leq m\leq 2000\)或\(n\leq m\leq 10^5\)且\(m-n\leq 10\)

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解题思路

每行每列最多\(2\)个炮，所以模型可以转换为求有多少种方案满足：\(1\sim n\)的数字各两个填在\(m\)个无序2元组（可以有空），并且每个组中的数互不相同。

直接硬钢推式子很难做（好像可以推到生成函数那边去），考虑一下巧妙的方法。

设\(g(n,m)\)表示\(2n\)个格子填下\(1\sim m\)中的数字各两个的方案。这个的方案就是

\[g(n,m)=(2n)!\sum_{i=0}^{min\{n,m-n\}}\frac{\binom{m}{n-i}\binom{m-n+i}{2i}}{2^{n-i}}
\]

表示\(m\)个数组中选出\(n-i\)对相同的来填，剩下的里面选出\(2i\)个单独的来填，然后交换导致重复的情况有\(2^{n-i}\)种，要除去。

这个式子就和\(m-n\)有很大的关系了。

将这个式子和答案联系起来，设\(f(n,m)\)表示答案，那么有

\[g(n,m)=\sum_{i=0}^n2^{n-i}\binom{n}{i}P_{m}^if(n-i,m-i)
\]

因为\(f(n,m)\)是不同无序二元组，\(\binom{n}{i}P_{m}^i\)表示\(n\)对中选出\(i\)个是相同的填入，剩下的都是不同的方案就是\(f(n-i,m-i)\)，然后因为\(g\)是统计有序二元组的，所以\(2^n\)表示随意交换。

\[2^{n}f(n,m)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}P_{m}^ig(n-i,m-i)
\]

\[f(n,m)=\frac{1}{2^n}\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}P_{m}^ig(n-i,m-i)
\]

然后直接计算就好了，时间复杂度\(O(n\times min\{n,m-n\})\)

\(Update:\)修改了反演前的公式错误

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=998244353,inv2=(P+1)/2;
ll n,m,fac[N],inv[N],pv2[N],ans;
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
ll A(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[n-m]%P;}
ll g(ll n,ll m){
    ll ans=0;
    for(ll i=0;i<=min(n,m-n);i++)
        (ans+=C(m,n-i)*C(m-n+i,2*i)%P*pv2[n-i]%P)%=P;
    return ans*fac[2*n]%P;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    inv[1]=1;
    for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
    fac[0]=inv[0]=pv2[0]=1;
    for(ll i=1;i<N;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P,pv2[i]=pv2[i-1]*inv2%P;
    for(ll i=0,p=1;i<=n;i++,p=-p)
        (ans+=p*(g(n-i,m-i)*C(n,i)%P*A(m,i)%P))%=P;
    printf("%lld\n",(ans*pv2[n]%P+P)%P);
    return 0;
}