洛谷 P6199 - [EER1]河童重工（点分治+虚树）

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神仙题。

首先看到这样两棵树的题目，我们肯定会往动态树分治的方向考虑。考虑每次找出 \(T_2\) 的重心进行点分治。然后考虑跨过分治中心的点对之间的连边情况。由于连边边权与两棵树都有关，直接处理这个“跨过重心”不太方便。不过注意到一个性质，那就是对于同一棵子树中的两个点 \(x,y\)，如果我们直接将它们的边权设为 \(dep_x+dep_y+\text{dist}(x,y)\)，其中 \(dep_x\) 为 \(x\) 到分治重心的距离，\(\text{dist}(x,y)\) 为 \(x,y\) 在第一棵树上经过所有边的权值之和，那么由于我们要跑最小生成树并且这个值大于实际边权，且实际边权显然会在更深层次的分治过程中扫描到，因此我们直接令边权为 \(dep_x+dep_y+\text{dist}(x,y)\) 不会出问题。

考虑令边权为 \(dep_x+dep_y+\text{dist}(x,y)\) 之后怎样解决问题。考虑建出连通块内的点在 \(T_1\) 中的虚树，然后对于每个在分治重心所在连通块中的点 \(x\)，我们在虚树中另建一个虚点 \(x'\)，并连一条 \(x'\) 到 \(x\)，权值为 \(dep_x\) 的边，那么分治重心所在连通块中两点 \(x,y\) 之间的距离就是 \(x',y'\) 在虚树上的距离。我们称这样的 \(x'\) 为”关键点“，那么我们考虑换根 \(dp\) 求出距离虚树上每个点最近的关键点 \(nr_x\)，那么我们枚举每一条边 \((x,y)\)，我们考虑找出割掉这条边后，与 \(x\) 在同一个连通块，且与 \(x\) 最近的关键点 \(u\)，以及与 \(y\) 在同一个连通块，且与 \(y\) 最近的关键点 \(v\)——这个可以通过之前换根 dp 时预处理的数组求出，那么我们需要保留原图中 \(u,v\) 中的边，对于没有被保留的边直接扔掉即可。因为考虑一条可能在最小生成树中的边 \((u,v)\)，那么其必然存在一个时刻作为跨越重心的路径存在——具体来说就是分治到它们点分树上的 LCA 作为重心时同时作为关键点出现在虚树中，那么有一个性质就是此时，\(T_1\) 中 \(u\to v\) 路径上的点的路径的 \(nr\) 必然是前一段是 \(u\)，后一段是 \(v\)，否则我们可以找到一个 \(nr_w\ne u,nr_w\ne v\) 的点 \(w\)，然后将 \(u\to v\) 的边改成 \((u,nr_w),(nr_w,v)\)，答案一定不会变得更劣。

这样一来我们就只用保留 \(n\log n\) 条有用的边，排序做 Kruskal 即可。时间复杂度 \(n\log^2n\)。

const int MAXN=1e5;
const int MAXE=4e6;
const int LOG_N=19;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n;
struct tree{
	int hd[MAXN+5],to[MAXN*2+5],val[MAXN*2+5],nxt[MAXN*2+5],ec=0;
	void adde(int u,int v,int w){to[++ec]=v;val[ec]=w;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
	int dfn[MAXN+5],tim=0,dep[MAXN+5],dis[MAXN+5];
	int dfn_eu[MAXN+5],tim_eu=0;pii st[MAXN*2+5][LOG_N+2];
	void dfs(int x,int f){
		st[dfn_eu[x]=++tim_eu][0]=mp(dep[x],x);
		dfn[x]=++tim;
		for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
			int y=to[e],z=val[e];if(y==f) continue;
			dep[y]=dep[x]+1;dis[y]=dis[x]+z;dfs(y,x);
			st[dfn_eu[x]=++tim_eu][0]=mp(dep[x],x);
		}
	}
	pii query_st(int l,int r){
		int k=31-__builtin_clz(r-l+1);
		return min(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
	}
	int getlca(int x,int y){
		x=dfn_eu[x];y=dfn_eu[y];if(x>y) swap(x,y);
		return query_st(x,y).se;
	}
	int getdis(int x,int y){return dis[x]+dis[y]-(dis[getlca(x,y)]<<1);}
	void prework(){
		dfs(1,0);
		for(int i=1;i<=LOG_N;i++) for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n*2;j++)
			st[j][i]=min(st[j][i-1],st[j+(1<<i-1)][i-1]);
//		printf("LCA:\n");
//		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
//			printf("%d%c",getlca(i,j)," \n"[j==n]);
	}
} T1,T2;
#define lca1(x,y) T1.getlca(x,y)
#define lca2(x,y) T2.getlca(x,y)
int siz[MAXN+5],mx[MAXN+5],cent=0;bool vis[MAXN+5];
void findcent(int x,int f,int totsiz){
	siz[x]=1;mx[x]=0;//printf("%d %d %d\n",x,f,totsiz);
	for(int e=T2.hd[x];e;e=T2.nxt[e]){
		int y=T2.to[e];if(y==f||vis[y]) continue;
		findcent(y,x,totsiz);chkmax(mx[x],siz[y]);
		siz[x]+=siz[y];
	} chkmax(mx[x],totsiz-siz[x]);
	if(mx[x]<mx[cent]) cent=x;
}
vector<int> pt;ll dis[MAXN+5];
void findpts(int x,int f){
	pt.pb(x);
	for(int e=T2.hd[x];e;e=T2.nxt[e]){
		int y=T2.to[e],z=T2.val[e];
		if(y==f||vis[y]) continue;
		dis[y]=dis[x]+z;findpts(y,x);
	}
}
vector<pii> g[MAXN*2+5];
int stk[MAXN+5],tp=0,rt;
void adde(int u,int v){
	int len=T1.dis[v]-T1.dis[u];
//	printf("%d %d %d\n",u,v,len);
	g[u].pb(mp(v,len));g[v].pb(mp(u,len));
}
void insert(int x){
	if(!tp) return stk[++tp]=x,void();
	int lc=lca1(x,stk[tp]);
	while(tp>1&&T1.dep[stk[tp-1]]>T1.dep[lc]) adde(stk[tp-1],stk[tp]),tp--;
	if(tp&&T1.dep[stk[tp]]>T1.dep[lc]) adde(lc,stk[tp--]);
	if(!tp||stk[tp]!=lc) stk[++tp]=lc;
	stk[++tp]=x;
}
void fin(){
	while(tp>=2) adde(stk[tp-1],stk[tp]),--tp;
	stk[tp--]=0;
}
void build_virt(){
//	printf("building virtual tree\n");
	sort(pt.begin(),pt.end(),[&](int x,int y){return T1.dfn[x]<T1.dfn[y];});
	for(int i=0;i<pt.size();i++) insert(pt[i]);fin();
	rt=lca1(pt[0],pt.back());
	for(int i=0;i<pt.size();i++){
		int x=pt[i];
		g[x].pb(mp(x+n,dis[x]));
		g[x+n].pb(mp(x,dis[x]));
	}
}
pii dp1[MAXN*2+5],dp2[MAXN*2+5];
void dfs1(int x,int f){
	if(x>n) dp1[x]=mp(0,x);
	else dp1[x]=mp(INF,0);
	for(pii p:g[x]){
		int y=p.fi,z=p.se;if(y==f) continue;dfs1(y,x);
		chkmin(dp1[x],mp(dp1[y].fi+z,dp1[y].se));
	} //printf("dp %d %d %d\n",x,dp1[x].fi,dp1[x].se);
}
void dfs2(int x,int f){
	multiset<pii> out;
	for(pii p:g[x]){
		int y=p.fi,z=p.se;
		if(y==f) out.insert(dp2[x]);
		else out.insert(mp(dp1[y].fi+z,dp1[y].se));
	} if(x>n) out.insert(mp(0,x));
	else out.insert(mp(INF,0));
	for(pii p:g[x]){
		int y=p.fi,z=p.se;if(y==f) continue;
		out.erase(out.find(mp(dp1[y].fi+z,dp1[y].se)));
		pii pp=*out.begin();dp2[y]=mp(pp.fi+z,pp.se);
		out.insert(mp(dp1[y].fi+z,dp1[y].se));
		dfs2(y,x);
	}
}
void calc_dp(){dfs1(rt,0);dp2[rt]=mp(INF,0);dfs2(rt,0);}
struct edge{
	int u,v,w;
	edge(int _u=0,int _v=0,int _w=0):u(_u),v(_v),w(_w){}
	bool operator <(const edge &rhs){return w<rhs.w;}
} e[MAXE+5];
int ecnt=0;
int get(int x){return min(dp1[x],dp2[x]).se-n;}
int calc_wei(int x,int y){return T1.getdis(x,y)+T2.getdis(x,y);}
void dfsadd(int x,int f){
	for(pii p:g[x]){
		int y=p.fi,z=p.se;if(y==f) continue;
		if(dp1[y].se>n&&dp2[y].se>n){
			e[++ecnt]=edge(dp1[y].se-n,dp2[y].se-n,calc_wei(dp1[y].se-n,dp2[y].se-n));
		} dfsadd(y,x);
	}
}
void clear(int x,int f){
	for(pii p:g[x]) if(p.fi!=f) clear(p.fi,x);
	g[x].clear();
}
void divcent(int x){
//	printf("divcent %d\n",x);
	vis[x]=1;pt.clear();dis[x]=0;findpts(x,0);
//	printf("points below:\n");
//	for(int p:pt) printf("%d %d\n",p,dis[p]);
	build_virt();calc_dp();dfsadd(rt,0);clear(rt,0);
//	for(int i=1;i<=n*2;i++) g[i].clear();
	for(int e=T2.hd[x];e;e=T2.nxt[e]){
		int y=T2.to[e];if(vis[y]) continue;
		cent=0;findcent(y,x,siz[y]);divcent(cent);
	}
}
struct ufset{
	int f[MAXN+5];
	int find(int x){return (!f[x])?x:f[x]=find(f[x]);}
	bool merge(int x,int y){x=find(x);y=find(y);return (x^y)?(f[x]=y,1):0;}
} dsu;
int main(){
	freopen("child.in","r",stdin);
	freopen("child.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),T1.adde(u,v,w),T1.adde(v,u,w);
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),T2.adde(u,v,w),T2.adde(v,u,w);
	T1.prework();T2.prework();
	mx[0]=INF;findcent(1,0,n);divcent(cent);
	sort(e+1,e+ecnt+1);ll res=0;
	for(int i=1;i<=ecnt;i++) if(dsu.merge(e[i].u,e[i].v)) res+=e[i].w;
	printf("%lld\n",res);
	return 0;
}
/*
6
1 2 2
1 3 4
1 4 3
2 5 2
2 6 3
1 4 1
4 5 2
4 6 3
5 2 4
6 3 5
*/