Codeforces 547D - Mike and Fish（欧拉回路）

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首先考虑将题目中的条件转化为图论的语言。看到“行”“列”，我们很自然地想到二分图中行、列转点，点转边的套路，对于每一行 \(x\) 新建一个点 \(R(x)\)，对于每一列 \(x\) 也新建一个点 \(C(y)\)。考虑对于点 \((x_i,y_i)\)，若其被染上红色，就连边 \(R(x_i)\to C(y_i)\)，否则连边 \(C(y_i)\to R(x_i)\)。那么显然对于每一行而言，其红色格子的个数就是该行所对应的点的出度，其蓝色格子的个数就是该行所对应的点的入度；对于每一列而言，其红色格子的个数就是该行所对应的点的入度，其蓝色格子的个数就是该行所对应的点的出度。

因此我们可将题目转化为：给定一张二分图，要求给每条边定向，使每个点入度与出度之差的绝对值不超过 \(1\)。

我们不妨先考虑原题的一个弱化版本。假设原图中所有点度数都是偶数，那么我们要求一个无向图，使得每个点的入度等于出度。这显然可以用欧拉回路解决，由于每个点度数都是偶数，因此图的每个连通块的导出子图都存在欧拉回路，那么我们对于每个连通块跑一遍欧拉回路，假设为 \(v_1\to v_2\to v_3\to\dots\to v_k\to v_1\)，那么我们只需对于 \(\forall i\in [1,k]\) 将 \(v_i\) 与 \(v_{i+1}\) 之间的边定向为 \(v_i\to v_{i+1}\) 即可，因为 \(\forall i\in [1,k]\)，显然 \(v_{i-1}\to v_i\) 的边会为 \(v_i\) 的入度产生 \(1\) 的贡献，\(v_{i}\to v_{i+1}\) 的边会为 \(v_i\) 的出度产生 \(1\) 的贡献，因此 \(v_i\) 的入度永远等于出度，符合题目要求。

最后考虑原题，本题一个巧妙之处就在于奇点怎么处理。显然对于一个奇点而言，我们要求它的出度与入度之差为 \(\pm 1\)，而我们希望它的出度与入度之差为 \(0\)，这样就能归约到弱化版了。因此我们考虑建立一个虚点，将所有奇点与该虚点之间连边，显然对于原图一个合法的定向方式，我们总能控制这些奇点与虚点连边的方向使得每个奇点的入度都等于出度。又根据有向图 \(\sum indeg_i=\sum outdeg_i\) 可知该虚点的入度也等于出度，故我们在新图上跑欧拉回路即可。

时间复杂度线性。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef unsigned int u32;
typedef unsigned long long u64;
namespace fastio{
	#define FILE_SIZE 1<<23
	char rbuf[FILE_SIZE],*p1=rbuf,*p2=rbuf,wbuf[FILE_SIZE],*p3=wbuf;
	inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=rbuf)+fread(rbuf,1,FILE_SIZE,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
	inline void putc(char x){(*p3++=x);}
	template<typename T> void read(T &x){
		x=0;char c=getchar();T neg=0;
		while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
		while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		if(neg) x=(~x)+1;
	}
	template<typename T> void recursive_print(T x){if(!x) return;recursive_print(x/10);putc(x%10^48);}
	template<typename T> void print(T x){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);}
	void print_final(){fwrite(wbuf,1,p3-wbuf,stdout);}
}
const int DELTA=2e5+2;
int n,deg[DELTA*2+5],hd[DELTA*2+5],to[DELTA*6+5],nxt[DELTA*6+5],ec=1;
void adde(int u,int v){to[++ec]=v;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
int vis[DELTA*3+5];
void dfs(int x){
	for(int &e=hd[x];e;e=nxt[e])
		if(!vis[e>>1]) vis[e>>1]=1+(x<=DELTA),dfs(to[e]);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x,y;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);++deg[x];++deg[y+DELTA];
		adde(x,y+DELTA);adde(y+DELTA,x);
	}
	for(int i=1;i<=DELTA*2;i++)
		if(deg[i]&1) adde(0,i),adde(i,0);
	for(int i=1;i<=DELTA;i++) dfs(i);
	for(int i=1;i<=n;i++) putchar((vis[i]==1)?'r':'b');
	return 0;
}