【LOJ#10064】黑暗城堡

题目大意：定义一个无向图的最短路径生成树如下：在该无向图的生成树中，任意一个节点到根节点的距离均等于根节点到该节点的最短路。求有多少种最短路径生成树。

题解：首先跑一遍 dij 求出从根节点到每个节点的最短路，再跑 prim，模拟该生成树生成的过程，即：维护最短路径生成树集合，对于每个新加入生成树集合的点，对与其相邻的且不在生成树中的点进行判断，若满足 \(d[u]+e[i].to==d[v]\) 则 v 的可能情况加一。最后利用乘法原理统计答案即可。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
const int maxv=1010;
const int maxe=1e6+10;
const int mod=(1LL<<31)-1;

inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch;
	do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(!isdigit(ch));
	do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(isdigit(ch));
	return f*x;
}

struct node{
	int nxt,to,w;
}e[maxe];
int tot=1,head[maxv];
inline void add_edge(int from,int to,int w){
	e[++tot]=node{head[from],to,w},head[from]=tot;
}
int n,m,d[maxv],stk[maxv],top,cnt[maxv];
long long ans=1;
bool vis[maxv];
priority_queue<P> q;

void read_and_parse(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
		x=read(),y=read(),z=read();
		add_edge(x,y,z),add_edge(y,x,z);
	}
}

void dij(){
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[1]=0,q.push(make_pair(0,1));
	while(q.size()){
		int u=q.top().second;q.pop();
		if(vis[u])continue;
		vis[u]=1,stk[++top]=u;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].to,w=e[i].w;
			if(d[v]>d[u]+w){
				d[v]=d[u]+w;
				q.push(make_pair(-d[v],v));
			}
		}
	}
}

void prim(){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	cnt[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int u=stk[i];
		vis[u]=1;
		for(int j=head[u];j;j=e[j].nxt){
			int v=e[j].to;if(vis[v])continue;
			if(d[v]==d[u]+e[j].w)++cnt[v];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=ans*cnt[i]%mod;
}

void solve(){
	dij();
	prim();
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
	read_and_parse();
	solve();
	return 0;
}