Codeforces.1041F.Ray in the tube(思路)

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\(Description\)

有两条平行于\(x\)轴的直线\(A,B\)，每条直线上的某些位置有传感器。你需要确定\(A,B\)轴上任意两个整点位置\(x_A,x_B\)，使得一条光线沿\(x_A\to x_B\)射出（碰到\(A,B\)后反射），能够碰到的传感器数量最多是多少。

每条直线上的传感器数量\(\leq10^5,\ 0\leq x_i\leq 10^9\)。

\(Solution\)

由光的反射定律可知，光束接触直线的相邻两个点的水平距离是确定的，设这个距离为\(dx\)（纵坐标就没有什么用了）。

那么会被从\(x_A\)出发的光束照到的点，在\(A\)轴上满足坐标为\(x_A+2k\cdot dx\)；在\(B\)轴上满足坐标为\(x_A+(2k-1)\cdot dx\)。

我们发现若\(dx=a\cdot b\)，\(a\)为奇数，\(b\)为\(1\)或偶数，则选\(dx'=\frac{dx}{a}=b\)会碰到所有\(dx\)会碰到的点，即不会更差。

换句话说就是，所有 \(dx=奇数\) 可以被 \(dx'=1\) 取代，\(dx=偶数\) 可以被 \(dx'=某个2的幂\) 取代。

所以存在（除\(1\)外的）奇数因子的\(dx\)没有必要判断。那么我们只需要判断\(dx=2^l,l\geq 0\)的情况。这一共有\(\log(10^9)\)种。

对于一个确定的\(dx\)，如果\(A\)轴上两个点\(x_1,x_2\)同时被碰到，那么满足\(x_1\equiv x_2\mod{(2 \cdot dx)}\)；

如果选了\(A\)轴上的\(x_1\)，\(B\)轴上的一个点\(x_2\)想要被碰到，就要满足\(x_1+dx\equiv x_2\mod{(2 \cdot dx)}\)。

所以我们把\(A\)点集中的每个\(x_i\)对\(2dx\)取模，\(B\)组中的每个\(x_i\)减掉一个\(dx\)再对\(2dx\)取模）。

然后把余数相同的分为一组，点数最多的一组就是当前最优解。

sort或直接map都可以。

复杂度\(O(n\log n\log(10^9))\)。

注意\(ans\)初始是\(2\)。。

//171ms	1500KB
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 150000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
const int N=2e5+5;

int n,A[N],tmp[N],Now;
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}

int main()
{
	int n=read(); read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
	int m=read(),tot=n+m; read();
	for(int i=n+1; i<=tot; ++i) A[i]=read();

	int ans=2/*!*/; tmp[tot+1]=2e9+1;
	for(int dx=1; dx<=int(1e9); dx<<=1)
	{
		int mod=dx<<1;
		for(int i=1; i<=n; ++i) tmp[i]=A[i]%mod;
		for(int i=n+1; i<=tot; ++i) tmp[i]=(A[i]+dx)%mod;
		std::sort(tmp+1,tmp+1+tot);
		for(int i=1,las=1; i<=tot; ++i)
			if(tmp[i+1]!=tmp[i]) ans=std::max(ans,i-las+1), las=i+1;
	}
	printf("%d\n",ans);

	return 0;
}