DP：斐波纳契数

题目：输出第 n 个斐波纳契数（Fibonacci）

方法一、简单递归

这个就不说了，小n怡情，大n伤身啊……当n=40的时候，就明显感觉到卡了，不是一般的慢。

 //输出第n个 Fibonacci 数
 #include <iostream>
 using namespace std;

 long long Fibonacci(int n)
 {
     if(n<=) return ;
     else return Fibonacci(n-) + Fibonacci(n-);
 }

 int main()
 {
     int n;
     while(cin>>n, n)
         cout<<Fibonacci(n)<<endl;

     return ;
 }
     

方案二、动态规划

 //输出第n个 Fibonacci 数
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #define MAXN 300
 using namespace std;

 long long F[MAXN];
 int i;
 long long Fibonacci(int n)
 {
     i++;
     F[]=;
     F[]=;
     if(n<=) return ;
     else
     {
         if(F[n]==0)    // !!!!!!!!!!
             F[n]=Fibonacci(n-) + Fibonacci(n-);
         return F[n];
     }
 }

 int main()
 {
     int n;
     while(cin>>n, n)
     {
         i=;
         memset(F,,sizeof(F));
         cout<<Fibonacci(n)<<" ";
         cout<<"调用"<<i<<"次"<<endl;

     }
     return ;
 }
     

【以上程序可以优化：既然只要求输出第n个斐波纳契数f(n)，则只需用两个变量记录f(n-1)和f(n-2)，不用开数组将整个1到n的斐波纳契数列都记录下来。】

最开始忘了 if(F[n]==0) 这个判断（17行），导致了很多次的重复计算——和递归算法一样多的次数。

以下是程序运行截图，上图为正确程序，下图为漏掉了 if(F[n]==0) 这个判断的错误程序。可以看出运行时间上的巨大差距：

当输入n=100时，错误的程序很长很长一段时间内都还没计算出来。

方法三、for循环 + 数组

速度也非常快。

 //输出第n个 Fibonacci 数
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #define MAXN 300
 using namespace std;

 long long F[MAXN];
 long long Fibonacci(int n)
 {
     F[]=;
     F[]=;
     if(n<=) return ;
     else
     {
         for(int i=; i<n; ++i)
             F[i] = F[i-] + F[i-];
         return F[n-];
     }
 }

 int main()
 {
     int n;
     while(cin>>n, n)
     {
         memset(F,,sizeof(F));
         cout<<Fibonacci(n)<<endl;
     }
     return ;
 }