给出一个长度为\(n\)的正整数序列\(a\),\(m\)次询问\(l,r,x\),问\(max\{i|i\in[l,r],gcd(a_i,x)=1\}\)。

\(n,m,a_i\le 10^5\)。

分析

这个题很妙啊。

二分答案,问题变成判断在一个区间\([l,r]\)中是否存在\(gcd(a_i,x)=1\),变成判断\([l,r]\)中有多少个\(gcd(a_i,x)\ne 1\),我们要计算的就是:

\[\begin{aligned}
ret&=\sum _{i=L}^R[gcd(a_i,x)\ne 1] \\
&=\left[\sum _{i=L}^R\sum _{d|x,d|a_i}\mu (d)\right]=0 \\
\end{aligned}
\]

这个怎么算呢?我们注意到,如果\(d\)含有平方因子,那么\(\mu (d)\)必定是0,不需要去计算,所以我们只需要统计无平方因子数。可以发现,对于\(10^5\)以内的数,它的无平方因子非常少,最多为64个(\(2*3*5*7*11*13*17>10^5\)),所以直接枚举就好了。对于\([1,10^5]\)内的所有无平方因子数,我们记录含有它的每个\(a_i\)的下标\(i\),每次对于询问的\(x\)在区间内二分计算即可。

复杂度约为\(O(64nlog^2n)\)。

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long giant;
int read() {
int x=0,f=1;
char c=getchar();
for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
const int maxn=1e5+1;
int a[maxn],pm[maxn],ps=0,mu[maxn],from[maxn];
int sf[maxn],id[maxn],fs=0;
bool np[maxn];
vector<int> vec[maxn],my[maxn];
int many(int l,int r,int d) {
++r;
int fx=lower_bound(vec[d].begin(),vec[d].end(),l)-vec[d].begin();
int fy=lower_bound(vec[d].begin(),vec[d].end(),r)-vec[d].begin();
return fy-fx;
}
bool ok(int l,int r,int x) {
int ret=0;
for (int d:my[x]) {
int gs=many(l,r,d);
ret+=mu[d]*gs;
}
return ret;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("test.in","r",stdin);
freopen("my.out","w",stdout);
#endif
int n=read(),q=read();
mu[1]=1;
for (int i=2;i<maxn;++i) {
if (!np[i]) pm[++ps]=i,mu[i]=-1,from[i]=1;
for (int j=1;j<=ps && (giant)pm[j]*i<maxn;++j) {
int tmp=pm[j]*i;
from[tmp]=i;
np[tmp]=true;
if (i%pm[j]==0) {
mu[tmp]=0;
break;
}
mu[tmp]=-mu[i];
}
}
for (int i=1;i<maxn;++i) if (mu[i]) sf[++fs]=i,id[i]=fs;
for (int i=1;i<maxn;++i) {
for (int j=1;(giant)j*j<=i;++j) if (i%j==0) {
if (mu[j]) my[i].push_back(j);
if ((giant)j*j!=i && mu[i/j]) my[i].push_back(i/j);
}
}
for (int i=1;i<=n;++i) {
int x=a[i]=read();
for (int d:my[x]) vec[d].push_back(i);
}
while (q--) {
int l=read(),r=read(),x=read(),mid,ans=-1;
while (l<=r) {
int mid=l+r>>1;
if (ok(mid,r,x)) l=mid+1,ans=mid; else r=mid-1;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}

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