面试题32：从1到n整数中1出现的次数

这是一道广为流传的google面试题。用最直观的方法求解并不是很难，但遗憾的是效率不是很高；而要得出一个效率较高的算法，需要比较强的分析能力，并不是件很容易的事情。当然，google的面试题中简单的也没有几道。

硬上：O(nlogn)

 int NumberOf1(unsigned int n);

 int NumberOf1Between1AndN_Solution1(unsigned int n)
 {
     int number = ;

     for(unsigned int i = ; i <= n; ++ i)
         number += NumberOf1(i);

     return number;
 }

 int NumberOf1(unsigned int n)
 {
     int number = ;
     while(n)
     {
         if(n %  == )
             number ++;

         n = n / ;
     }

     return number;
 }

方法二：

我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分成两段，即1-1235和1346-21345。

先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况：一种情况是1出现在最高位（万位）。从1到21345的数字中，1出现在10000-19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000（10⁴）次；另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，这20000个数字中后面四位中1出现的次数是2000次（2*10³，其中2的第一位的数值，10³是因为数字的后四位数字其中一位为1，其余的三位数字可以在0到9这10个数字任意选择，由排列组合可以得出总次数是2*10³）。

至于从1到1345的所有数字中1出现的次数，我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-1235和1346-21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345，便于我们采用递归的思路。

分析到这里还有一种特殊情况需要注意：前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字，此时最高位1出现的次数10⁴（对五位数而言）。但如果最高位是1呢？比如输入12345，从10000到12345这些数字中，1在万位出现的次数就不是10⁴次，而是2346次了，也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。

int NumberOf1(const char* strN);
int PowerBase10(unsigned int n);

int NumberOf1Between1AndN_Solution2(int n)
{
    if(n <= )
        return ;

    char strN[];
    sprintf(strN, "%d", n);

    return NumberOf1(strN);
}

int NumberOf1(const char* strN)
{
    if(!strN || *strN < '' || *strN > '' || *strN == '\0')
        return ;

    int first = *strN - '';
    unsigned int length = static_cast<unsigned int>(strlen(strN));

    if(length ==  && first == )
        return ;

    if(length ==  && first > )
        return ;

    // 假设strN是"21345"
    // numFirstDigit是数字10000-19999的第一个位中1的数目
    int numFirstDigit = ;
    if(first > )
        numFirstDigit = PowerBase10(length - );
    else if(first == )
        numFirstDigit = atoi(strN + ) + ;

    // numOtherDigits是01346-21345除了第一位之外的数位中1的数目
    int numOtherDigits = first * (length - ) * PowerBase10(length - );
    // numRecursive是1-1345中1的数目
    int numRecursive = NumberOf1(strN + );

    return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive;
}

int PowerBase10(unsigned int n)
{
    int result = ;
    for(unsigned int i = ; i < n; ++ i)
        result *= ;

    return result;
}