opengl视图变换 投影变换推导

视图变换
在opengl中，视图变换的输入是:
（1）眼睛位置（或者说相机位置）eys；
（2）眼睛朝向的中心center,(就是眼睛朝哪里看);
（3）头的方向up。
任何一点经过视图变换后都会转化到眼睛坐标系下。具体地说，眼睛坐标系的三个轴分别是：
（1）z轴： F=center-eye;(要归一化)
（2）x轴： S=cross(F,up);（这里是叉乘,也要归一化）
（3）y轴： U=cross(S,F)。
此时，eye的位置就是原点了。那么对于任意一点P(px,py,pz)，在新坐标下的三个点分别是：
px=dot(p-eye,S);(这里是点乘)
py=dot(p-eye,U);
pz=dot(p-eye,F)

所以可得变换矩阵为：

不过在opengl的坐标系下。z轴的方向其实是垂直屏幕向外的，所以与我们上面的F是相反的。因此实际的变换矩阵是下面这样子：

这样的变换矩阵，其实对于真正能看到的点，变换后它的z坐标应该是一个负的值。

透视投影

透视投影的输入为
（1）宽度width
（2）高度height
（3）近裁面near
（4）远裁面far。
经过透视投影变换后的点的坐标，xyz都在[-1,1]。（不在这个范围内的将被opengl裁剪掉）。而且这里输入的点一般是经过视图变换的点,因此点的z坐标是个负值。

如上图所示，设一个点的坐标是(x,y,z)，变换之后的坐标为$(x_{proj},y_{proj},z_{near})$。那么由三角形相似可得：

$\frac{z_{near}}{-z}=\frac{y_{proj}}{y}=\frac{x_{proj}}{x}$

所以

$y_{proj}=\frac{z_{near}\cdot y}{-z}$

$x_{proj}=\frac{z_{near}\cdot x}{-z}$
然后将$y_{proj},x_{proj}$变换到[-1,1]之间，即$y_{proj}=\frac{z_{near}\cdot y}{-z\cdot width/2}$,$x_{proj}=\frac{z_{near}\cdot x}{-z\cdot height/2}$。

下面我们来讨论变换后的z坐标。由于在远裁面将被映射到1，近裁面将被映射到-1，设z的变换公式为$f(z)=\frac{Az+B}{-z}$，$-z$的意思是最后的齐次坐标是$-z$，归一化的时候用的是$-z$。那么有：$\left\{\begin{matrix}\frac{A(-\cdot z_{near})+B}{-(-z_{near})}=-1\\ \frac{A(-\cdot z_{far})+B}{-(-z_{far})}=1\end{matrix}\right.$
解得：$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{z_{near}+z_{far}}{z_{far}-z_{far}}\\ B=-\frac{2z_{near}z_{far}}{z_{far}-z_{near}}\end{matrix}\right.$
令$X=\frac{z_{near}}{width/2} $，$Y=\frac{z_{near}}{height/2} $最后得到变换矩阵为：
$\begin{bmatrix}X & 0 & 0 & 0 \\ 0 & Y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & -1\\ 0 & 0 & B & 0\end{bmatrix}$

另外，有时候计算透视投影时输入是长宽比aspect和视野的角度Fov(y轴的角度)。这里可以想办法计算出width和height的表达式，带入上面的变换矩阵。过程略去了。最后计算的$X=\frac{1}{aspect\cdot tan(\frac{Fov}{2})}$,$Y=\frac{1}{tan(\frac{Fov}{2})}$

正交投影

正交投影的输入为left,right,top,bottom,far,near。
对于x方向来说，设插值方程为$fx(x)=Ax+B$,那么有：$\left\{\begin{matrix}A \cdot left +B=-1\\ A \cdot right +B=1\end{matrix}\right.$，解得：$\left\{\begin{matrix}A=\frac{2}{right-left}\\ B=-\frac{right+left}{right-left}\end{matrix}\right.$

y方向同理。

对于z方向来说，$fz(-near)=-1,fz(-far)=1$。

最后得到变换矩阵为：
$\begin{bmatrix}Ax & 0 & 0 &0 \\ 0 & Ay & 0 &0 \\ 0 & 0 & Az & 0\\ Bx & By& Bz &1 \end{bmatrix}$

其中

$Ax=\frac{2}{right-left}$

$Bx=-\frac{right+left}{right-left}$

$Ay=\frac{2}{top-bottom}$

$By=-\frac{top+bottom}{top-bottom}$

$Az=-\frac{2}{far-near}$

$Bz=-\frac{far+near}{far-near}$