HDU3629(凸四边形的个数)
题目描述:给你n个点(4~700), 问你能够成多少个不同的凸四边形。
解题报告:
暴力的话C(700,4)必然超时,发现,任何一个凹包必然是其中一点在其它3点构成的三角形内。
然后就考虑,能不能求出所有凹包的个数,然后用总数C(n, 4)减去凹包的个数,就是答案。
依次枚举每个点i,看看其它点能够成多少个包括点i的三角形,就是以这个点为中心的凹包的个数。
找三角形也要一定的技巧,也是通过逆向思维:找出有多少个三角形不包括点i,然后用总三角形个数C(n
– 1, 3) – 这个个数就是就是以这个点为中心的凹包的个数。
注意到,如果3个点不能圈住中心点,则必然是存在一条通过中心点的直线,使得这三个点都在直线的同侧。利用这个形式,我们用如下方法寻找三角形:
1:以中心点为中心,对剩余n-1个点极角排序。
2:依次处理排序后的n-1个点,对于每一个点i,依次往后扫描,找到第一个点j,是j和i的夹角大于180度。
3:那么点i + 1到点j
– 1的所有点都可以和点i构成不包括中心点的三角形。个数是
C(j – i – 1, 2)
具体算法如图:
注意到:如果每次找j点都从i点出发的话,那么算法就成了N3的复杂度了。其实每次的j点都是从上个j点之后开始的,降低一维复杂度。
自己以前没有注意到的代码技巧:
计算极角时,如果是负数(-pi ~ 0),就把它加上2 * pi,这样就把角度统一到了0~2pi。
另外,向这题顺次统计两个点的夹角时,由于会出现转了一圈的情况不好计算角度,所以在原来数组后面再顺次加上n-1一个点,角度同一加2pi,
for(int j = 0; j < n - 1; j++) ans[j + n - 1] = ans[j] + 2 * pi;
这样计算角度直接减就好了。
代码如下:
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h> using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 750;
const double PI = acos(-1.0); struct Point
{
int x,y;
}; Point p[N];
double A[N];
int n; double angle(double x,double y)
{
double t = y - x;
if(t < 0) t += 2*PI;
return t;
} LL work()
{
LL t1 = (LL)n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24;
int t2,t3;
for(int i2=0;i2<n;i2++){
t2=(n-1)*(n-2)*(n-3)/6;
// int i4=0;
for(int i3=0,ans=0;i3<n;i3++){
if(i3!=i2)A[ans++]=atan2((double)(p[i3].y-p[i2].y),(double)(p[i3].x-p[i2].x));
}
sort(A,A+n-1);
/* for(int j=0,i=0; i<n-1; i++)
{
while(j<i+n-1)
{
if(angle(A[i],A[j%(n-1)])>PI) break;
j++;
}
t2 -= (LL)(j-i-1)*(j-i-2)/2;
}
t1 -= t2;
*/
// int t3=0;
for(int kk=0,k2=0;kk<n-1;kk++)//kk是原角
{
while(k2<kk+n-1){//相当于往后推
if(angle(A[kk],A[k2%(n-1)])>PI)break; //注意由于后推,k2要取余
k2++;//继续往后找
}
//这时确定过点kk 和另外两点(kk+1,k2-1);
//得到的三角形个数被扣去(C(k2-kk-1),2)
t2-=(k2-1-(kk+1)+1)*(k2-1-(kk+1))/2;
//接着继续 原角后推直到n-1;注意这里k2在之前基础上找就行了
}
t1-=t2;
} return t1;
} int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>n;
for(int i=0; i<n; i++)
cin>>p[i].x>>p[i].y;
cout<<work()<<endl;
}
return 0;
}
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