洛谷 P2764 最小路径覆盖问题【最大流+拆点+路径输出】

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2764

题目描述

«问题描述：

给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。提示：设V={1，2，.... ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：

每条边的容量均为1。求网络G1的（ 0 x , 0 y ）最大流。

«编程任务：

对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。

输入输出格式

输入格式：

件第1 行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。

输出格式：

从第1 行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

输入输出样例

输入样例#1：

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

输出样例#1：

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

说明

1<=n<=150,1<=m<=6000

由@zhouyonglong提供SPJ

 

题解：

　　最小路径覆盖问题。答案就是N-最大二分匹配（证明略，感觉hihoCoder上讲的很详细，推荐看）。

　　将每个点拆点分成AB两部分，做最大二分匹配。然后源点到A部的点连边，边权为1；B部点到汇点连边，边权为1，跑最大流......

　　关于路径输出问题，可以从汇点开始找残余容量为0的点作为起始点递归输出路径...

代码：

 #include <cstdio>
 #include <vector>
 #include <algorithm>
 #include <queue>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 const int N = *+;
 const int M = *+;
 const int inf = 1e9;
 int n, m, S, T;
 int dep[N], cur[N];
 int head[N];
 struct Edge{
     int v, c, nex;
     Edge(int _v=,int _c=,int _nex=):v(_v),c(_c),nex(_nex){}
 }E[M];

 int cnt;
 void add(int u, int v, int c){
     E[cnt].v = v;
     E[cnt].c = c;
     E[cnt].nex = head[u];
     head[u] = cnt++;
 }

 bool bfs() {
     queue<int> q;
     memset(dep, -, sizeof(dep));
     q.push(S); dep[S] = ;
     while(!q.empty()) {
         int u = q.front(); q.pop();
         for(int i = head[u]; ~i; i = E[i].nex) {
             int v = E[i].v;
             if(E[i].c && dep[v] == -) {
                 dep[v] = dep[u] + ;
                 q.push(v);
             }
         }
     }
     return dep[T] != -;
 }
 int dfs(int u, int flow) {
     if(u == T) return flow;
     int w, used=;
     for(int i = head[u]; ~i; i = E[i].nex) {
         int v = E[i].v;
         if(dep[v] == dep[u] + ) {
             w = flow - used;
             w = dfs(v, min(w, E[i].c));
             E[i].c -= w;  E[i^].c += w;
             if(v) cur[u] = i;
             used += w;
             if(used == flow) return flow;
         }
     }
     if(!used) dep[u] = -;
     return used;
 }
 int dinic() {
     int ans = ;
     while(bfs()) {
         for(int i = ; i <= T;i++)
             cur[i] = head[i];
         ans += dfs(S, inf);
     }
     return ans;
 }
 void print(int x, int &f) {
     if(x <= S) return;
     if(f == ) f = ;
     else printf(" ");
     printf("%d", x);

     for(int i = head[x]; ~i; i = E[i].nex) {
         if(!E[i].c){
             print(E[i].v - n, f);
         }
     }
 }
 int main() {
     int i, j, u, v;
     scanf("%d%d", &n, &m);
     memset(head, -, sizeof(head));
     cnt = ;
     S = ; T = *n+;
     for(i = ; i < m; ++i) {
         scanf("%d%d", &u, &v);
         add(u, v+n, ); add(v+n, u, );
     }
     for(i = ; i <= n; ++i) add(S,i,),add(i,S,);
     for(i = ; i <= n; ++i) add(i+n,T,),add(T,i+n,);

     int ans = dinic();

     for(i = head[T]; ~i; i = E[i].nex) {
         if(!E[i].c) {
             int f = ;
             print(E[i].v - n, f);
             puts("");
         }
     }
     printf("%d\n", n-ans);
     return ;
 }

 /*
 7 7
 1 2
 1 3
 2 4
 3 4
 4 5
 4 6
 5 7
 */