【BZOJ4709】【Jsoi2011】柠檬

Description

　　

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　　题意简述：将序列划分成任意多段，从每一段选出一个数$x$，获得$在这一段出现的次数x*(x在这一段出现的次数)$的贡献。求总贡献最大值。

　　

　　

　　

　　

　　

Solution

　　

　　首先，要发现一个很重要的性质：如果某一段选了$x$，那么这一段一定是以$x$开头、以$x$结尾的一段。否则，可以将此段缩减至以$x$开头、以$x$结尾的更小的一段，虽然贡献没有变，但留给其他段的机会更多。

　　

　　设$f_i$表示$1...i$的贡献最大值。记$a_i$表示$i$的数值，$b_i$表示$a_i$在相同的值中是第几个出现的。显然如果要从别的$f_j$转移到$f_i$，必须满足$a_{j+1}==a_i$。我们有转移方程：

\[f_i=\max \{f_{j-1}+a_i(b_i-b_j+1)^2\}\;\;\;j\le i,a_j=a_i
\]

　　设$j$为最优转移点：

\[\begin{aligned}
f_i&=f_{j-1}+a_i(b_i-(b_j-1))^2\\
f_i&=f_{j-1}+a_i(b_i^2-2b_i(b_j-1)+(b_j-1)^2)\\
f_i&=f_{j-1}+a_ib_i^2-2a_ib_i(b_j-1)+a_i(b_j-1)^2\\
f_{j-1}+a_i(b_j-1)^2&=2a_ib_i(b_j-1)+f_i-a_ib_i^2
\end{aligned}
\]

　　这其实是一个直线的式子：$k=2a_ib_i$，$x=(b_j-1)$，$b=(f_i-a_ib_i^2)$，$y=f_{j-1}+a_i(b_j-1)^2$.

　　

　　其中$a_i$看似和$i$有关，无法继续推理。但由于转移的$j$满足$a_j=a_i$，所以每一个位置的数在参与上述DP时，相关联的$a$其实就是每一个元素自己的数值，是一个定值。

　　

　　把每一个元素看成二维平面的一个点$(x,y)$。由于最优转移相当于最大化截距，那么最优转移点$j$可以看做在斜率为$k$的时候上凸包碰到的第一个点。

　　

　　那么我们扫描序列时，维护每一个数值对应的上凸包，每次查询时在上面二分即可。

　　

　　时间复杂度$\mathcal O(n \lg n)$。

　　

　　当然，也可以用斜率优化直接做。

　　

　　

　　

Code

#include <cstdio>

#include <vector>

#define k(i) (2LL*a[i]*b[i])

#define x(i) (b[i]-1LL)

#define y(i) (f[i-1]+1LL*a[i]*(b[i]-1)*(b[i]-1))

#define b(i) (f[i]-1LL*a[i]*b[i]*b[i])

#define pb push_back

#define db pop_back

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=100005,S=10005;

const double EPS=1e-6;

int n,a[N],ecnt[S],b[N];

ll f[N];

vector<int> s[S];

int slen[S];

double slope(int u,int v){return 1.0*(y(v)-y(u))/(x(v)-x(u));}

int query(int col,int k){

	k=2*col*k;

	int l=0,r=slen[col]-2,mid;

	while(l<=r){

		mid=(l+r)>>1;

		if(slope(s[col][mid],s[col][mid+1])-EPS<=k) r=mid-1;

		else l=mid+1;

	}

	return s[col][l];

}

void insert(int col,int i){

	int sz=slen[col];

	while(sz>1&&slope(s[col][sz-2],s[col][sz-1])<slope(s[col][sz-1],i))

		sz--,slen[col]--,s[col].db();

	s[col].pb(i);

	slen[col]++;

}

int main(){

	scanf("%d",&n);

	for(int i=1;i<=n;i++){

		scanf("%d",a+i);

		b[i]=++ecnt[a[i]];

	}

	for(int i=1;i<=n;i++){

		insert(a[i],i);

		int j=query(a[i],b[i]);

		f[i]=(j?f[j-1]:f[i-1])+1LL*a[i]*(b[i]-b[j]+1)*(b[i]-b[j]+1);

	}

	printf("%lld\n",f[n]);

	return 0;

}