2018.07.08 NOIP模拟 好数（线段树）

好数

题目背景

SOURCE：NOIP2016-AHSDFZ T3

题目描述

我们定义一个非负整数是“好数”，当且仅当它符合以下条件之一：

1. 这个数是 0 或 1 。

2. 所有小于这个数且与它互质的正整数可以排成一个等差数列，例如，8 就是一个好数，因为 1，3，5，7 排成了等差数列。

给出 N 个非负整数，然后进行如下三个操作：

1. 询问区间 [L,R] 有多少个好数。

2. 将区间 [L,R] 内所有数对 S 取余（S≤1000000）。

3. 将第 C 个数更改为 X 。

提示：如果你不知道如何判断一个数是否为好数，你可以打个表找找规律。

输入格式

第一行包含两个正整数 N 和 M ，M 表示操作数目。

第二行包含 N 个非负整数。

接下来的 M 行每行表示 1 个操作：“1 L R”表示第 1 个操作，“2 L R S”表示第 2 个操作，“3 C X”表示第 3 个操作。

输出格式

对每个操作1，输出一个非负整数，表示区间内好数的个数。

样例数据 1

输入

3 6

4 6 9

1 1 3

1 3 3

2 1 1 10

1 1 3

3 2 4

1 1 3

输出

2

0

2

2

样例数据 2

输入

8 5

12 24 17 31 16 21 18 30

1 2 5

2 4 7 7

3 2 13

1 1 8

1 3 6

输出

3

6

4

备注

【数据规模与约定】


事实上在打表找完规律之后会发现好数只有质数，0，6，和2的非负整数次幂。这样的话，我们可以快速判断一个数是不是好数。然后分析一下算法，每个数每次被取模至少变成原来的0.5倍，于是logn" role="presentation" style="position: relative;">lognlogn次取模之后就成1了，这样的话直接暴力修改，每次单点修改会为时间复杂度提供logn" role="presentation" style="position: relative;">lognlogn的贡献，最多是O（nlogn）" role="presentation" style="position: relative;">O（nlogn）O（nlogn）的贡献，于是将区间取模分解成单点取模，记录区间最大值剪枝就行了。实在不放心的可以线性筛个素数什么的。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define lc (p<<1)
#define rc (p<<1|1)
#define mid (T[p].l+T[p].r>>1)
#define N 100005
using namespace std;
inline long long read(){
    long long ans=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return ans*w;
}
inline int lowbit(int x){return x&-x;}
int n,m,k,a[N];
bool f[105];
inline int prime(int x){
    for(int i=2;i*i<=x;++i)if(x%i==0)return 0;
    return 1;
}
inline int check(int x){
    if(x<=6)return 1;
    if(x==lowbit(x))return 1;
    return prime(x);
}
struct Node{int minn,maxn,lz,l,r,sum,up;}T[N<<2];
inline void pushup(int p){
    T[p].maxn=max(T[lc].maxn,T[rc].maxn);
    T[p].minn=min(T[lc].minn,T[rc].minn);
    T[p].sum=T[lc].sum+T[rc].sum;
}
inline void pushnow(int p,int v,int t){T[p].maxn=T[p].minn=T[p].lz=v,T[p].sum=(T[p].up=t)*(T[p].r-T[p].l+1);}
inline void pushdown(int p){
    if(!T[p].lz)return;
    pushnow(lc,T[p].lz,T[p].up);
    pushnow(rc,T[p].lz,T[p].up);
    T[p].lz=0;
    T[p].up=0;
}
inline void build(int p,int l,int r){
    T[p].l=l,T[p].r=r,T[p].lz=0,T[p].up=0;
    if(l==r){
        T[p].maxn=T[p].minn=a[l];
        T[p].sum=check(a[l]);
        return;
    }
    build(lc,l,mid);
    build(rc,mid+1,r);
    pushup(p);
}
inline void modify(int p,int k,int v){
    if(T[p].l==T[p].r){
        T[p].maxn=T[p].minn=v;
        T[p].sum=check(v);
        return;
    }
    pushdown(p);
    if(k<=mid)modify(lc,k,v);
    else modify(rc,k,v);
    pushup(p);
}
inline void update(int p,int ql,int qr,int v){
    if(qr<T[p].l||T[p].r<ql||T[p].maxn<v)return;
    if(ql<=T[p].l&&T[p].r<=qr&&T[p].maxn==T[p].minn){
        pushnow(p,v,check(v));
        return;
    }
    pushdown(p);
    if(qr<=mid)update(lc,ql,qr,v);
    else if(ql>mid)update(rc,ql,qr,v);
    else update(lc,ql,mid,v),update(rc,mid+1,qr,v);
    pushup(p);
}
inline int query(int p,int ql,int qr){
    if(qr<T[p].l||T[p].r<ql)return 0;
    if(ql<=T[p].l&&T[p].r<=qr)return T[p].sum;
    pushdown(p);
    if(qr<=mid)return query(lc,ql,qr);
    if(ql>mid)return query(rc,ql,qr);
    return query(lc,ql,mid)+query(rc,mid+1,qr);
}
int main(){
    freopen("good.in","r",stdin);
    freopen("good.out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    if(n<=100&&m<=100){
        f[0]=1;
        f[1]=1;
        f[2]=1;
        f[3]=1;
        f[4]=1;
        f[5]=1;
        f[6]=1;
        f[7]=1;
        f[8]=1;
        f[11]=1;
        f[13]=1;
        f[16]=1;
        f[17]=1;
        f[19]=1;
        f[23]=1;
        f[29]=1;
        f[31]=1;
        f[32]=1;
        f[37]=1;
        f[41]=1;
        f[43]=1;
        f[47]=1;
        f[53]=1;
        f[59]=1;
        f[61]=1;
        f[64]=1;
        f[67]=1;
        f[71]=1;
        f[73]=1;
        f[79]=1;
        f[83]=1;
        f[89]=1;
        f[97]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
        while(m--){
            int op=read(),l=read(),r=read();
            if(op==1){
                int ans=0;
                for(int i=l;i<=r;++i)ans+=f[a[i]];
                printf("%d\n",ans);
            }
            else if(op==2){
                int s=read();
                for(int i=l;i<=r;++i)a[i]%=s;
            }
            else a[l]=r;
        }
    }
    else{
        build(1,1,n);
        while(m--){
            int op=read(),l=read(),r=read();
            if(op==1)printf("%d\n",query(1,l,r));
            else if(op==2){
                int s=read();
                update(1,l,r,s);
            }
            else modify(1,l,r);
        }
    }
    return 0;
}