洛谷 P4093: bzoj 4553: [HEOI2016/TJOI2016]序列

题目传送门：洛谷P4093。

题意简述：

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)。

同时这个序列还可能发生变化，每一种变化 \((x_i,y_i)\) 对应着 \(a_{x_i}\) 可能变成 \(y_i\)。

不会同时发生两种变化。

需要找出一个最长的子序列，使得这个子序列在任意一种变化下都是不降的。

只需要求出这个子序列的长度即可。

注意：可以不发生任何变化。

题解：

记 \(f[i]\) 为以第 \(i\) 项结尾的子序列最长长度。

则有转移：\(f[i]=\max_{j<i}(f[j])+1\)，同时还要满足 \(maxval_j\le a_i\) 和 \(a_j\le minval_i\)。

按照项从小到大转移，形成了天然的时间顺序，同时还要满足两个偏序限制。
其中 \(maxval_i\) 表示第 \(i\) 项最大能变成的值，\(minval_i\) 表示第 \(i\) 项最小能变成的值。

算上时间顺序，这是一个三维偏序问题，用 CDQ 分治 + 数据结构（我用了树状数组）就能解决。

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 const int MN = ;
 const int MC = ;

 int N, M;
 int A[MN], Mx[MN], Mn[MN];
 int f[MN], Ans;
 int p[MN];
 inline bool cmp1(int i, int j) { return Mx[i] < Mx[j]; }
 inline bool cmp2(int i, int j) { return A[i] < A[j]; }

 int B[MN];
 inline void Ins(int i, int x) { for (; i <= MC; i += i & -i) B[i] = max(B[i], x); }
 inline void Clr(int i) { for (; i <= MC; i += i & -i) B[i] = ; }
 inline int Qur(int i) { int A = ; for (; i; i -= i & -i) A = max(A, B[i]); return A;}

 void CDQ(int lb, int rb) {
     if (lb == rb) {
         f[lb] = max(f[lb], );
         return;
     }
     int mid = lb + rb >> ;
     CDQ(lb, mid);
     for (int i = lb; i <= rb; ++i)
         p[i] = i;
     sort(p + lb, p + mid + , cmp1);
     sort(p + mid + , p + rb + , cmp2);
     int j = lb;
     for (int i = mid + ; i <= rb; ++i) {
         while (j <= mid && Mx[p[j]] <= A[p[i]]) {
             Ins(A[p[j]], f[p[j]]);
             ++j;
         }
         f[p[i]] = max(f[p[i]], Qur(Mn[p[i]]) + );
     }
     for (int i = lb; i <= mid; ++i)
         Clr(A[i]);
     CDQ(mid + , rb);
 }

 int main() {
     int x, y;
     scanf("%d%d", &N, &M);
     for (int i = ; i <= N; ++i)
         scanf("%d", &A[i]),
         Mx[i] = Mn[i] = A[i];
     for (int i = ; i <= M; ++i)
         scanf("%d%d", &x, &y),
         Mx[x] = max(Mx[x], y),
         Mn[x] = min(Mn[x], y);
     CDQ(, N);
     for (int i = ; i <= N; ++i)
         Ans = max(Ans, f[i]);
     printf("%d\n", Ans);
     return ;
 }