P1220 关路灯（区间规划）

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：m）、功率（W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入输出格式

输入格式：

文件第一行是两个数字n(1<=n<=50，表示路灯的总数)和c(1<＝c<=n老张所处位置的路灯号)；

接下来n行，每行两个数据，表示第1盏到第n盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式：

一个数据，即最少的功耗(单位：J，1J＝1W·s)。

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

思路：

区间dp，关键是从题目中找准状态以及状态之间的转化关系。

向老张每次在一个地点要么向左走要么向右走，那么用dp[i][j]表示老张在i和j之间关掉路灯的功耗，由于老张关掉[i,j]这个区间的路灯后可能在i处也可能在j处，用dp[i][j][0]表示老张关掉[i,j]这段路灯后停留在i，用dp[i][j][1]表示老张在关掉路灯后停留在j。

那么可以得到递推关系：

$ dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+(loc[i+1]-loc[i])*sum[i+1][j],dp[i+1][j][1]+(loc[j]-loc[i])*sum[i+1][j]) $

$ dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+(loc[j]-loc[i])*sum[i][j-1],dp[i][j-1][1]+(loc[j]-loc[j-1])*sum[i][j-1]) $

这里面的loc[i]表示第i根电杆的位置，sum[i][j]表示关完区间[i,j]的电杆后每秒钟其他电杆消耗的电量（可以从前缀和来求）

注意：

初始状态是dp[c][c][0]=dp[c][c][1]=0,表示关完最开始位置的电杆不需要耗电

在遍历的时候，其余状态的更新要从c位置开始

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define inf 0x3f3f3f3f

int f[55][55][2];

int sum[55][55];

int v[55],loc[55],w[55];

int main(){

    int n,c;

    scanf("%d %d",&n,&c);

    for(int i=1;i<=n;i++){

        scanf("%d %d",&loc[i],&w[i]);

        v[i]=v[i-1]+w[i];

    }

    //关完i->j之后每秒灯的功耗

    for(int i=1;i<=n;i++){

        for(int j=1;j<=n;j++){

            sum[i][j]=v[n]-(v[j]-v[i-1]);

            f[i][j][0]=f[i][j][1]=inf;

        }

    }

    f[c][c][0]=f[c][c][1]=0;

    for(int i=c;i>0;i--){

        for(int j=i+1;j<=n;j++){

            f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(loc[i+1]-loc[i])*sum[i+1][j],f[i+1][j][1]+(loc[j]-loc[i])*sum[i+1][j]);

            f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(loc[j]-loc[i])*sum[i][j-1],f[i][j-1][1]+(loc[j]-loc[j-1])*sum[i][j-1]);

        }

    }

    int ans=min(f[1][n][0],f[1][n][1]);

    printf("%d\n",ans);

    return 0;

}