Prufer序列 学习笔记

\(Prufer\) 序列

\(\texttt{definition}\)

\(Prufer\) 序列序列可以将一个带标号 \(n\) 个结点的树用 \([1..n]\) 中的 \(n-2\) 个整数表示。你也可以把它理解为完全图的生成树与数列之间的双射。

显然你不会想不开拿这玩意儿去维护树结构。这玩意儿常用组合计数问题上。

\(\texttt{Construction sequence}\)

Prufer 是这样建立的：每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个结点。重复 \(n-2\) 次后就只剩下两个结点，算法结束。

很容易想到用堆做到 \(O(n\log n)\)

然而可以线性构造

以上摘自 oi-wiki

\(\texttt{nature}\)

1. 在构造完 \(Prufer\) 序列后原树中会剩下两个结点，其中一个一定是编号最大的点 \(n\) 。
2. 每个结点在序列中出现的次数是其度数减 \(1\) 。（没有出现的就是叶结点）

\(\texttt{Rebuild the tree}\)

重建树的方法是类似的。根据 \(Prufer\) 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数。然后你也可以得到度数最小的叶结点编号，而这个结点一定与 \(Prufer\) 序列的第一个数连接。然后我们同时删掉这两个结点的度数。

每次我们选择一个度数为 \(1\) 的最小的结点编号，与当前枚举到的 \(Prufer\) 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度。到最后我们剩下两个度数为 \(1\) 的点，其中一个是结点 \(n\) 。就把它们建立连接。使用堆维护这个过程，在减度数的过程中如果发现度数减到 \(1\) 就把这个结点添加到堆中，这样做的复杂度是 \(O(n\log n)\) 的。

同理我们可以线性构造

在删度数的时侯会产生新的叶结点，于是判断这个叶结点与指针 \(p\) 的大小关系，如果更小就优先考虑它

\(\texttt{Gayley's formula}\)

凯莱定理

完全图 \(K_n\) 有 \(n^{n-2}\) 棵生成树。

怎么证明？方法很多，但是用 \(Prufer\) 序列证是很简单的。任意一个长度为 \(n-2\) 的值域 \([1..n]\) 的整数序列都可以通过 \(Prufer\) 序列双射对应一个生成树，于是方案数就是 \(n^{n-2}\) 。

图的联通方案数

大家可以去看上文的链接

一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的带标号无向图有 \(k\) 个连通块。我们希望添加 \(k-1\) 条边使得整个图连通。求方案数。

这里只写出结论 \(ans = n^{k-2}\prod_{i=1}^k s_i\)