Bubble Cup 13 - Finals [Online Mirror, unrated, Div. 1] K. Lonely Numbers (数学)

• 题意:定义两个数\(a,b\)是朋友,如果:\(gcd(a,b)\),\(\frac{a}{gcd(a,b)}\),\(\frac{b}{gcd(a,b)}\)能构成三角形,现在给你一个正整数\(n\),问你\(1-n\)中有多少数没有朋友.

• 题解:首先考虑合数,设\(a=b*c\),\(b\ge c\),\(b\ge 2,c\ge 2\),我们知道:\(gcd(b,b-1)=1\),那么:\(gcd(b*c,(b-1)*c)=c\),则对于:\(b*c\),\((b-1)*c\),\(gcd(b*c,(b-1)*c)=c\),由三角形构成条件不难得到不等式:\(b+b-1>c\),\(b+c>b-1\),\(b-1+c>b\),这三个不等式是恒成立的,所以合数是不满足条件的.

  接下来我们考虑质数,对于两个互质的数,我们可以得到三个数\(p_1,p_2,1\),这三个数永远不可能构成三角形(不多解释了),假如两个质数不互质,那么\(p|a\),那么我们可以得到三个数:\(1,P,\frac{a}{p}\),而\(a\)最小为\(p^2\),如果能构成三角形的话:\(p+1>\frac{a}{p}\),\(\frac{a}{p}+1>p\),所以当且仅当\(a=p^2\),满足条件,所以对于\([1,n]\)中的质数\(p\),如果存在\(p^2\),那么它一定不是孤单的,所以\(p^2>n\)就是我们此题的核心限制条件,也就转化为我们要求\((\sqrt{n},n]\)中的质数个数.

• 代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define me memset
#define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
#define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
const int N = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
ll lcm(ll a,ll b) {return a/gcd(a,b)*b;}

int t;
int n;
int prime[N],cnt;
int res[N];
bool st[N];

void get_prime(int n){
	rep(i,2,n){
		if(!st[i]){
			prime[cnt++]=i;
		}
		for(int j=0;j<cnt && prime[j]<=n/i;++j){
			st[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
		res[i]=cnt;
	}
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>t;
	get_prime(1000000);
	while(t--){
		cin>>n;

		cout<<res[n]-res[(int)sqrt(n)]+1<<'\n';    //不能取到p^2

	}

    return 0;
}