tf.nn.softmax & tf.nn.reduce_sum & tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits

tf.nn.softmax

softmax是神经网络的最后一层将实数空间映射到概率空间的常用方法，公式如下：

\[softmax(x)_i=\frac{exp(x_i)}{\sum_jexp(x_j)}
\]

本文意于分析tensorflow中的tf.nn.softmax()，关于softmax的具体推导和相关知识点，参照其它文章。

tensorflow的tf.nn.softmax()函数实现位于这里，可以看到，实现起来相当简明：

tf.exp(logits)/tf.reduce_sum(tf.exp(logits),axis)

看一个例子：

x=tf.constant([[[1.0,2.0],[3.0,4.0]],
[[5.0,6.0],[7.0,9.0]],
[[9.0,10.0],[11.0,12.0]]])

with tf.Session() as sess:
	print(sess.run(tf.nn.softmax(x,axis=0)))
	print(sess.run(tf.nn.softmax(x,axis=1)))
	print(sess.run(tf.nn.softmax(x,axis=2)))

这里主要关注axis参数，它表示在那个维度上做softmax。从上面可以看到，axis参数传递给了tf.reduce_sum。上述的运行结果类似于：

axis=0:
[[[3.2932041e-04 3.2932041e-04]
  [3.2932041e-04 3.2932041e-04]]
 [[1.7980287e-02 1.7980287e-02]
  [1.7980287e-02 1.7980287e-02]]
 [[9.8169035e-01 9.8169035e-01]
  [9.8169035e-01 9.8169035e-01]]]

axis=1:
[[[0.11920291 0.11920291]
  [0.880797   0.880797  ]]
 [[0.11920291 0.11920291]
  [0.880797   0.880797  ]]
 [[0.11920291 0.11920291]
  [0.880797   0.880797  ]]]

axis=2:
[[[0.26894143 0.7310586 ]
  [0.26894143 0.7310586 ]]
 [[0.26894143 0.7310586 ]
  [0.26894143 0.7310586 ]]
 [[0.26894143 0.7310586 ]
  [0.26894143 0.7310586 ]]]

这里以axis=0为例，tf.reduce_sum(tf.exp(x),axis=0)的结果为：

[[  8254.216  22437.285]
 [ 60990.863 165790.34 ]]

tf.exp(x)的结果为：

[[[2.7182817e+00 7.3890562e+00]
  [2.0085537e+01 5.4598152e+01]]
 [[1.4841316e+02 4.0342880e+02]
  [1.0966332e+03 2.9809580e+03]]
 [[8.1030840e+03 2.2026467e+04]
  [5.9874145e+04 1.6275478e+05]]]

假设最外层axis=0的维度表示样本数，取出第一个样本看其计算过程，可知：

[[3.2932041e-04 3.2932041e-04]
  [3.2932041e-04 3.2932041e-04]]=
[[2.7182817e+00 7.3890562e+00]
  [2.0085537e+01 5.4598152e+01]]
 /
 [[  8254.216  22437.285]
 [ 60990.863 165790.34 ]]

也就是样本概率加和为1，也就是对axis=0处做softmax（axis=0维度上，概率加和为1），而其“内部”的值一样。

tf.reduce_sum

这里从tf.reduce_sum函数这个角度提一下，tensorflow中的维度这个参数。axis这个参数可以从张量从外向里看，axis=0表示最外一层，举例而言：

x=tf.constant([[[1.0,2.0],[3.0,4.0]],
				[[5.0,6.0],[7.0,9.0]],
				[[9.0,10.0],[11.0,12.0]]])

with tf.Session() as sess:
	print(sess.run(tf.reduce_sum(x,axis=0)))

上述这个例子中，x的shape为[3,2,2]。最外层的张量有3个元素，现在要对最外层（也就是axis=0）reduce_sum，也就是：

[[1.0,2.0],[3.0,4.0]]+[[5.0,6.0],[7.0,9.0]]+[[9.0,10.0],[11.0,12.0]]
=[[15.0,18.0],[21.0,24.0]]

3维张量内部的2维张量，对应位置相加。例如：15.0=1.0+5.0+9.0

同样的：

with tf.Session() as sess:
	print(sess.run(tf.reduce_sum(x,axis=1)))
	print(sess.run(tf.reduce_sum(x,axis=2)))

axis=1时，是第二层，第二层中每个张量有2个元素，对于第一个第二层(axis=1)张量[[1.0,2.0],[3.0,4.0]]，现在要对其reduce_sum，运算过程如下：

[1.0,2.0]+[3.0,4.0]=[4.0,6.0]

第二个第二层张量和第三个第二层张量运算过程：

[5.0,6.0]+[7.0,8.0]=[12.0,14.0]
[[9.0,10.0]+[11.0,12.0]]=[20.0,22.0]

拼合起来结果就是：

[[ 4.  6.]
 [12. 14.]
 [20. 22.]]

当axis=2时，也就是

with tf.Session() as sess:
	print(sess.run(tf.reduce_sum(x,axis=2)))

结果是什么呢？

[[ 3.  7.]
 [11. 15.]
 [19. 23.]]

其中，3.0=1.0+2.0

tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits

一般我们在用softmax做最后一层，计算loss时常常用到该函数，函数签名：

tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(logits, labels, name=None)

• logits：神经网络最后一层的输出，如果有batch的话，它的大小就是[batchsize,num_classes]。单样本的话，大小就是num_classes
• labels：标签，大小要与logits保持一致

计算过程分为2步：

• 对网络最后一层的输出做一个softmax，这一步通常是求取输出属于某一类的概率，output_shape: [None, num_classes]

• 对每个样本，使用神经网络的输出和真实标签做交叉熵，交叉熵公式如下：

  \[H_{y'}(y)=-\sum_iy_i'log(y_i)
  \]

  对单个样本而言，\(y_i'\)是真实标签第i维的值，\(y_i\)是神经网络输出的向量的第i维的值。可以看到，\(y_i'\)和\(y_i\)越一致，交叉熵越小，所以可以使用交叉熵作为loss。交叉熵可以参考其它文章

  该函数返回向量，要求标量交叉熵，可以使用tf.reduce_sum将其变为标量