【BZOJ4002】[JLOI2015]有意义的字符串 - 矩阵乘法

题意：

给出b,d,n,求$\lfloor(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n\rfloor \mod 999999999999999989$（原题是7528443412579576937）。

$n\leq 10^{18}$

$0<b^2\leq d<(b+1)^2\leq 10^{18}$

$b \mod 2=1$

$d \mod 4=1$

对于20%的数据有$b=1,d=5$

题解：

我是不知道这题跟字符串有什么关系。。。

场上有40%的数据是$n\leq 5$然而我们都没搞出来。。。
本质是发现性质然后乱搞。。。（这场数学竞赛的本质）

观察式子$(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n$，发现他是一个很像共轭根式的东西，那可以把另一半搞出来，得到

$(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$；

显然这个东西一定是整数，不妨设个通项$a_n=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$，则答案就是$a_n-(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$；

然后我们可以通过一些黑科技用通项把递推式还原出来：把两个共轭根式看成特征方程的两个解，再通过韦达定理就可以把原来的系数解出来。。。

有兴趣的同学可以自己算一下，这里算出来特征方程是$x^2-bx+\frac{b^2-d}{4}=0$，那么还原出来递推式就是

$a_n=b\times a_{n-1}+\frac{d-b^2}{4}\times a_{n-2}$，其中$a_0=2，a_1=b$

所以可以用矩阵快速乘来搞定数列，再考虑后面的$(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$；

由于数据有$b^2\leq d<(b+1)^2$或$b=1,d=5$，所以$(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n∈(-1,0]$，当且仅当$d≠b^2$且$n$为偶数时要把答案减一。

时间复杂度$O(log^2n)$，但是原题模数爆longlong，所以要手写快速乘。。。

代码：

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define eps 1e-4
 #define mod 999999999999999989ll
 using namespace std;
 typedef unsigned long long ull;
 struct sq{
     ull a[][];
     sq(){
         a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=;
     }
     void init(){
         a[][]=a[][]=;
     }
 }a,ans;
 ull calc(ull x,ull y){
     ull ret=;
     for(;y;y>>=,x=(x+x>mod)?x+x-mod:x+x){
         if(y&)ret=(ret+x>mod)?ret+x-mod:ret+x;
     }
     return ret;
 }
 sq operator *(const sq a,const sq b){
     sq ret;
     for(int i=;i<;i++)for(int j=;j<;j++)for(int k=;k<;k++){
         ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+calc(a.a[i][k],b.a[k][j]))%mod;
     }
     return ret;
 }
 sq pw(sq x,ull y){
     sq ret;
     ret.init();
     for(;y;y>>=,x=x*x){
         if(y&)ret=ret*x;
     }
     return ret;
 }
 ull b,d,n;
 int main(){
     scanf("%llu %llu %llu",&b,&d,&n);
     a.a[][]=;
     a.a[][]=(d-b*b)/;
     a.a[][]=b;
     ans.a[][]=;
     ans.a[][]=b;
     ans=ans*pw(a,n);
     if(n%==&&d!=b*b)ans.a[][]--;
     printf("%llu",ans.a[][]);
     return ;
 }