UVA10976 分数拆分 Fractions Again?! 题解

Content

给定正整数 \(k\)，找到所有的正整数 \(x \geqslant y\)，使得 \(\frac{1}{k}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)。

数据范围：\(0<k\leqslant 10^4\)。

Solution

我们考虑直接暴力枚举，那么如何枚举？又如何确定枚举的上界与下界？

由于题目中给出的要求 \(x\geqslant y\)，因此我们可以考虑枚举 \(y\)，然后显然要使得 \(y>k\)，因此我们枚举的下界就是 \(k+1\)，那么枚举的上界是什么呢？显然是在 \(x=y\) 的时候就不能够再去枚举了，因为如果 \(y\) 再向后枚举的话就不能够保证 \(x\geqslant y\)。而又由于在这个时候 \(\frac{1}{k}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)，因此 \(y\) 此时就是 \(2k\)。因此我们枚举的范围就是 \([k+1,2k]\)。我们发现这么枚举是 \(\mathcal O(k)\) 的，再看数据范围，显然 \(10^4\) 的复杂度不会爆炸，因此就可以通过这么愉快的枚举通过此题了。

Code

int n;

ii gcd(int a, int b) {return !b ? a : gcd(b, a % b);}

int main() {
    while(scanf("%d", &n) == 1) {
        vector<pii> ans;
        F(int, i, n + 1, n * 2) {
            int fm = i * n, fz = n - i;
            int gg = gcd(fm, fz);
            fm /= gg, fz /= gg;
            if(fz == 1) ans.push_back(make_pair(-fm, i)); //第一项一定要先去相反数再放入 pair！！！因为这是 pair 的特性
        }
        println((int)ans.size());
        F(int, i, 0, (int)ans.size() - 1) printf("1/%d = 1/%d + 1/%d\n", n, ans[i].fi, ans[i].se);
    }
}