C++数据结构之最小生成树

最小生成树是图的一部分，一般求最小生成树用Prim算法和Kruskal算法。

对于Prim算法，思想是：在访问过的顶点和未访问的顶点之间选择权值最小的边。Prim算法是基于顶点的操作，适合于顶点较少，边较多的图。

对于Kruskal算法，思想是：直接从图中选择权值最小的边，并且已选择的边不能构成连通图。Kruskal算法是基于边的操作，适合于边较少，顶点较多的图。

Prim算法，在此我用了关联容器pair作为边的存储结构：

//普里姆算法
int Prim(const int G[][VNUM], vector<pair<int, int> > &edge)
{
	int w = 0;						//权重
	vector<int> visited(VNUM, 0);	//已访问节点集合
	//初始化
	visited[0] = 1;					//0号节点已访问
	//循环VNUM-1次
	int u, v;
	for(int number = 1; number < VNUM; ++number)
	{
		int min = M;
		for(int i = 0; i != VNUM; ++i) //一次循环有一个节点入栈
		{
			if(visited[i] == 1)
			{
				for(int j = 1; j != VNUM; ++j)			//判断边（i, j)的权值,i为已访问节点，j为未访问节点
				{

					if(visited[j] == 0 && G[i][j] < min)
					{
						min = G[i][j];
						v = i;
						u = j;
					}
				}
			}
		}
		w += G[v][u];
		visited[u] = 1;
		edge[number-1].first = v;
		edge[number-1].second = u;
	}
	return w;
}

克鲁斯卡尔算法的最小生成树结构用并查集表示，并查集在次主要用来判断已选择的边是否构成连通图，如果对应顶点x，y的FindRoot()操作返回的结果相同，即他们的根相同，则能够成连通图，说明选择的边不满足条件。

//并查集结构
class DisjointSet{
public:
	vector<int> father;
	DisjointSet(int VNUM){
		father.resize(VNUM, -1);
	}
	int FindRoot(int x)
	{
		while(father[x] >= 0)
			x = father[x];
		return x;
	}
	void Union(int x, int y)
	{
		father[FindRoot(x)] = FindRoot(y);
	}
};
//Kruskal
int Kruskal(const int G[][VNUM], vector<pair<int, int> > &edge)
{
	int min = M;
	int w = 0;
	int v, u;
	DisjointSet V(VNUM);
	for(int num = 0; num != VNUM-1; ++num)
	{
		min = M;
		for(int i = 0; i != VNUM; ++i)
		{
			for(int j = 0; j != VNUM; ++j)
			{
				if(G[i][j] < min && V.FindRoot(i) != V.FindRoot(j))
				{
					min = G[i][j];
					v = i;
					u = j;
				}
			}
		}
		w += G[u][v];
		V.Union(u, v);
		edge[num].first = v;
		edge[num].second = u;
	}
	return w;
}

下面是主程序：

/*************************
Date	: 2013-9-20
Author	: DVD0423
Function: 无向图的最小生成树
******************&******/
#include <iostream>
#include <vector>
#include <utility>
using namespace std;
const int M = 10;		//两节点无边权值用M表示
const int VNUM = 6;

int Prim(const int G[][VNUM], vector<pair<int, int> > &edge);
int Kruskal(const int G[][VNUM], vector<pair<int, int> > &edge);

int main()
{
	const int G[VNUM][VNUM] = {
	M, 9, 1, M, 7, 2,
	9, M, 5, 1, M, 6,
	1, 5, M, 4, 2, 6,
	M, 1, 4, M, 9, 3,
	7, M, 2, 9, M, M,
	2, 6, 6, 3, M, M
	};
	vector<pair<int, int> > edge(VNUM-1);

	//Prim
	cout<<"普里姆算法:"<<endl;
	cout<<"总路径长度："<<Prim(G, edge)<<endl;
	for(int i = 0; i != VNUM-1; ++i)
		cout<<"("<<edge[i].first<<", "<<edge[i].second<<")"<<endl;

	//Kruskal
	cout<<"克鲁斯卡尔算法："<<endl;
	cout<<"总路径长度："<<Kruskal(G, edge)<<endl;
	for(int i = 0; i != VNUM-1; ++i)
		cout<<"("<<edge[i].first<<", "<<edge[i].second<<")"<<endl;

	return 0;
}

输出结果如下：