P5431 【【模板】乘法逆元2】

卡常毒瘤题。交了一页的我。

首先容易想出暴力的做法，直接逆元累加，复杂度\(O(nlogn)\)。

for(register int i=1;i<=n;++i){
		ll a=read();
		ans=(ans%p+qp(k,i)*qp(a,p-2)%p)%p;
	}

我第一次交就直接这样子，憨憨，连\(k\)都不优化一下。

作为一道毒瘤题，她（指鱼鱼）怎么可能这么简单地就让你过了呢（详见讨论）？？

我们需要寻找线性复杂度算法。

首先考虑为什么渐进复杂度里有个\(log\)，是因为每次累加我们都\(O(logn)\)地求了逆元。

换个思路，如果我们把所求式子都通分，先把分子乘起来，最后再乘上\(\sum_{i=1}^na_i \pmod p\)的逆元，不就不用除那么多次了吗。

设\(s=\sum_{i=1}^na_i\)，则有

\[\sum\limits_{i=1}^n\frac{k^i}{a_i}=\sum_{i=1}^n\frac{k^i*(\frac{s}{a_i})}{s}
\]

但是分子又出现了除法，如果直接求逆元又退化到了\(O(nlogn)\)。考虑维护\(a\)的前缀、后缀积\(h[],t[]\)，那么\(\frac{s}{a_i}=h[i-1]*t[i+1]\)。预处理之后即可线性求解。

for(register int i=1;i<=n;++i){
		ans=(ans+k*(h[i-1]*t[i+1]%p))%p;
		k=(k*q)%p;
	}

这样。

卡卡常，多用int，少%，这道题就惨痛地A了。