设M=5^2003+7^2004+9^2005+11^2006，求证8|M。(整除理论，1.1.8)

设M=5²⁰⁰³+7²⁰⁰⁴+9²⁰⁰⁵+11²⁰⁰⁶，求证8|M。

证明：

前提：对于，5²⁰⁰³让我们去构造8，即用8-3替换5

第一步：用8-3替换5，且仅替换一个,

第二步：进行分项，则前一项可以被8整除，余下另一项

第三步：对余下的一项继续用8-3替换一个5

第四步：分项再一次留下一项；

进行循环，最终留下一项-3²⁰⁰³

对其他三项进行相似的操作的

1²⁰⁰⁴，1²⁰⁰⁵，3²⁰⁰⁶

则，对-3²⁰⁰³，3²⁰⁰⁶进行变换

得，-3*9¹⁰⁰¹，9^1003,

最后得到的是

-3+1+1+1=0.

所以，命题得证，8|M。