AcWing 220. 最大公约数 | 欧拉函数
题目描述
给定整数N,求1<=x,y<=N且GCD(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对。
GCD(x,y)即求x,y的最大公约数。
输入格式
输入一个整数N
输出格式
输出一个整数,表示满足条件的数对数量。
数据范围
1≤N≤10^7
输入样例:
4
输出样例:
4
题解:本题要求1<=x,y<=N且GCD(x,y)为素数的数对(x,y)数量,相当于求:对于N以内的每一个素数p,1<=x,y<=N/p 中GCD(x,y)为1的数对(x,y)数量和。我们知道欧拉函数的定义是1~n中与n互质的数的个数,那么对于p,1<=x,y<=N/p 中GCD(x,y)为1的数对(x,y)数量为φ(1)+φ(2)...+φ(N/p),可以用前缀和计算。要注意:x,y大小关系无影响所以要*2,但x,y相同时只算一次所以要-1。题目就变成了求\[\sum_{p是素数}^{p≤n} 2*\sum_{i=1}^{n/p}φ(i) -1\] 也可以用\[\sum_{p是素数}^{p≤n} 2*\sum_{i=2}^{n/p}φ(i) +1\]。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e7 + ;
int v[N],prime[N];
ll sum[N],phi[N];
int cnt = ;
int main() {
int n;
scanf("%d",&n);
phi[]=;
for (int i = ; i <= n; i++) {
if(!v[i]) {
v[i] = i;prime[cnt++] = i;
phi[i] = i-;
}
for (int j = ; j < cnt; j++) {
if (prime[j] > v[i] || prime[j] > n/i) break;
v[i*prime[j]] = prime[j];
phi[i*prime[j]] = phi[i] * (i%prime[j]?prime[j]-:prime[j]);
}
}
for (int i = ; i <= n; i++)
sum[i] = sum[i-]+phi[i];
ll ans = ;
for (int i = ; i < cnt; i++) {
int num = n/prime[i];
ans += *sum[num]-;
}
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
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