分类问题（三）混淆矩阵，Precision与Recall

混淆矩阵

衡量一个分类器性能的更好的办法是混淆矩阵。它基于的思想是：计算类别A被分类为类别B的次数。例如在查看分类器将图片5分类成图片3时，我们会看混淆矩阵的第5行以及第3列。

为了计算一个混淆矩阵，我们首先需要有一组预测值，之后再可以将它们与标注值（label）进行对比。我们也可以在测试集上做预测，但是最好是先不要动测试集（测试集仅需要在最后的阶段使用，在我们有了一个准备上线的分类器后，最后再用测试集测试性能）。接下来，我们可以使用cross_val_predict() 方法：

from sklearn.model_selection import cross_val_predict

y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
y_train_pred.shape
>(60000,)

与cross_val_score() 方法一样，cross_val_predict() 会执行K-折交叉验证，但是不会返回评估分数，而是返回在每个测试折上的预测值，加起来就是整个训练数据集的预测值。现在我们可以使用confusion_matricx() 方法获取混淆矩阵。直接传入label数据（y_train_5）以及预测数据（y_train_pred）即可：

from sklearn.metrics import confusion_matrix

confusion_matrix(y_train_5, y_train_pred)
>array([[53892,   687],
       [ 1891,  3530]])

在这个混淆矩阵中，每一行代表一个真实类别，每一列代表一个预测类别。第一行代表的是“非5”（亦称为negative class）图片：53892张图片被分类为“非5“类别（它们亦称为true negatives）。剩下的687 张图片被错误的分类为”非5“（亦称为false positives）。第二行代表的是”真5“（亦称为 positive class）：1891张图片被错误地分类为”非5“类别（亦称为false negatives），剩下的3530 张图片被正确地分类为”真5“（亦称为true positives）。一个完美的分类器应该仅包含true positives 以及true negatives，所以它的混淆矩阵应该仅有主对角线上有非0数值，其他值应都为0。例如，假设我们有了以下一个完美的预测：

y_train_perfect_predictions = y_train_5
confusion_matrix(y_train_5, y_train_perfect_predictions)
>array([[54579,     0],
       [    0,  5421]])

混淆矩阵可以给我们提供很多信息，但是有时候我们可能需要一个更精准的指标。一个比较好的方式是：查看positive predictions的精准度。它也称为分类器的精度（precision），它的公式为：

Precision

Precision=TP / (TP + FP)

这里TP 是true positives 的数量，FP 是false positive 的数量。

对于精度，我们仍有办法去构造一个完整精度。比如假设测试集里全部是数字5，然后模型的逻辑是仅输出True。这样就可以构造一个 100% 精度的模型。所以精度（precision）一般与另一个指标一起用，这另一个指标称为回调（recall），也称为sensitivity或true positive rate（TPR）：它是分类器正确分类positive 条目的比率，公式为：

Recall

TP / (TP+FN)

这里FN是false negatives的数目。

如果对混淆矩阵的这些概念比较模糊的话，可以看看下图：

Precision与Recall

Sk-learn提供了一些方法用于计算分类器的各个指标，包括精准率（precision）与回调率（recall）：

from sklearn.metrics import precision_score, recall_score

print(precision_score(y_train_5, y_train_pred))  #3530/(3530+687)
print(recall_score(y_train_5, y_train_pred))  #3530/(3530+1891)
>0.8370879772350012
 0.6511713705958311

从precision与recall来看，这个分类器的表现并不像之前准确度（accuracy）那样亮眼了。当这个分类器认为某张图片是数字5时，它仅有83.7% 的概率是正确的。并且它仅识别出了65.1%的数字5图片。

一般我们还会将precision和recall结合成一个指标：F₁分数。特别是在需要使用一个简单的办法对比两个分类器时。F₁分数是precision与recall的调和平均数（harmonic mean）：

如果一个分类器的recall与precision分数都比较高的话，则最终才会得到一个较高的F₁分数。其中任意一个recall或是precision比较低的话，F₁分数都不会太高。

在sk-learn中，直接调用f1_score() 方法即可计算F₁分数：

from sklearn.metrics import f1_score

f1_score(y_train_5, y_train_pred)
>0.7325171197343846

F₁分数会比较倾向于那些precision值与recall值接近的分类器。不过这个需求并不是在任何场景下都是必须的，在一些场景下，我们可能更关心精准率，而在另一些场景下更关注回调率。例如，如果我们训练一个分类器，用于为孩子们检测一些健康的视频。在这个场景下，我们可能会更倾向于使用：一个可以更精准的判断视频是否为健康的视频（高精准），但是可能会误杀掉一些健康的视频（低回调）的分类器。而不是一个有着高回调，但是会让小部分不健康的视频通过的分类器。另一方面，假设我们训练一个判断监控里小偷的分类器，即使这个分类器只有30%的精准率（precision）也是可以的，只要是它有99%左右的回调率（recall），依然可以达到我们的需求（即使警报可能会响很多次，但是基本都会抓到小偷）。

不过可惜的是，precision与recall无法二者兼得：增加precision会降低recall，反之亦然。这个被称为精准/回调折中（precision/recall tradeoff）。

精准/回调折中（Precision/Recall Tradeoff）

为了理解这种折中，我们看一下SGDClassifier是如何做分类决策的。对每条数据，它首先根据决策方法，计算出一个分数，如果此分数大于某个阈值，则将这条数据分类为正类（positive class），反之则分类为负类（negative class）。

下图是一个例子，低分在左边，被分为负类，高分在右边，被分为正类。假设决策阈值的位置在正中间（下图中间的两个5之间）：我们可以看到阈值右边有4个true positives（真正为数字5），以及1个false positive （真正为数字6）。所以，在这个阈值下，精准率precision是80%（4/5）。这个集合中一共有6个数字5，但是在这个阈值下，只检测出了4个，所以召回率recall是67%（4/6）。

现在假设我们升高这个阈值（将箭头向右移），则之前的那个数字6从false positive 变成了true negative，所以此时false positive 现在是0，precision是100%（3/3）。而之前的数字5 由true positive 变成了false negative，所以召回率recall现在是50%（3/6）。同样，减少阈值后，召回率会上升，但是精准率precision会下降。

Sk-learn并不允许用户直接设置阈值，但是可以指定一个决策分数，用于做预测。之前我们是调用predict() 方法做预测，现在我们可以先使用 decision_function() 方法，它会返回每条数据的分数。然后我们可以根据这些分数，提供的阈值进行预测：

y_scores = sgd_clf.decision_function([X_test[0], X_test[1], X_test[2], X_train[0]])
y_scores
>array([-8542.1753957 , -4410.49112461, -3416.59592945,  2164.22030239])

threshold = 0
y_demo_digit_pred = (y_scores > threshold)
y_demo_digit_pred
>array([False, False, False,  True])

SGDClassifier 使用的是0作为阈值，所以上面的方法返回的结果与直接调用 predict() 的结果是一致的。下面我们可以试着改一下这个阈值：

threshold = 8000
y_demo_digit_pred = (y_scores > threshold)
y_demo_digit_pred
>array([False, False, False, False])

这个也证明了：提高阈值后，recall会下降。最后这张图片本来是数字5，并且在阈值为0的情况下，分类器可以将它正确识别。但是在阈值升高到8000后，此图片便被识别为“非数字5”。

现在，我们如何决定使用哪个阈值呢？首先我们需要获取训练数据中所有数据的得分。再次使用cross_val_predict() 方法即可，但是这次我们要指定它返回决策分数，而不是做预测：

y_scores = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3, method='decision_function')
y_scores
>array([  1200.93051237, -26883.79202424, -33072.03475406, ...,

        13272.12718981,  -7258.47203373, -16877.50840447])

现在有了这些分数，我们可以计算在各种可能的阈值下，precision与recall的值，使用precision_recall_curve()方法：

from sklearn.metrics import precision_recall_curve
precisions, recalls, thresholds = precision_recall_curve(y_train_5, y_scores)

最后我们可以画出precision与recall的函数图，以threshold为因变量，使用matplotlib：

def plot_precision_recall_vs_threshold(precisions, recalls, thresholds):
    plt.plot(thresholds, precisions[:-1], 'b--', label="Precision")
    plt.plot(thresholds, recalls[:-1], 'g--', label="Recall")

plot_precision_recall_vs_threshold(precisions, recalls, thresholds)
plt.show()

大家可能会好奇，为什么precision的图相较于recall的图抖动的更剧烈。这是因为：在阈值上升后，precision可能偶尔会下降（虽然一般它会上升）。为了便于理解，大家可以回看一下之前“精准/回调折中”里的那张图。假设我们的阈值设在最中间，然后下一个阈值只向右移动了一个单位，则precision从80%（4/5）下降到了75%（3/4）。而另一边，recall仅会在阈值增加的时候才会下降，所以它的曲线看起来更平滑。

另一个比较好的选择“精准/回调折中”的办法是直接画出precision对应于recall的图，如：

可以看到在大约recall在80% 左右的样子，precision开始急速下降。所以我们一般会选择一个它下降前的一个“精准/回调折中“（precision/recall tradeoff），例如在60%的回调左右。不过这个最终的决定取决于我们的项目需求。

下面假设我们定的目标是90%的precision。从第一副图我们可以得知，阈值大约为8000 左右。为了更精确地获取这个阈值，我们可以搜索满足90%精准率的最小阈值（np.argmax() 可以返回第一个最大值，在这个例子中就是第一个True值）：

threshold_90_precision = thresholds[np.argmax(precisions >=0.90)]
threshold_90_precision
>3370

下一步，做决策。这次我们不再用predict() 方法，而是使用：

y_train_pred_90 = (y_scores >= threshold_90_precision)
y_train_pred_90
>array([False, False, False, ...,  True, False, False])

然后我们检查一下这些预测的precision与recall：

precision_score(y_train_5, y_train_pred_90)
>0.9000345901072293

recall_score(y_train_5, y_train_pred_90)
>0.4799852425751706

现在我们就有了一个90%精准率的分类器！正如你所见，创建一个高精准率的分类器其实很简单，只需要设置更高的阈值即可。但是，如果一个分类器即使precision很高，而recall很低的话，这个分类器基本没太大用处。所以如果有人说，他的分类器达到了99%的精准率，那我们可以继续问问他“recall是多少？”

接下来我们还会继续介绍另一种性能衡量的办法： ROC曲线。它是另一种与Precision/Recall 曲线类似的曲线。