UVA11525 【Permutation】

分析

简述“康托展开”

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建hash表时的空间压缩。设有\(n\)个数\((1,2,3,4,…,n)\)，可以有组成不同(\(n!\)种)的排列组合，康托展开表示的就是是当前排列组合在\(n\)个不同元素的全排列中的名次。式子表示：

\[X=\sum_{i=1}^{n}a_i*(i-1)!
\]

\(\rightarrow\)

\[X=a_n*(n-1)!+a_{n-1}*(n-2)!+...+a_i*(i-1)!+...+a_1*0!
\]

其中, \(a_i\)为整数，并且\(0\leq a_i\leq i, 0 < i \leq n,\) 表示当前未出现的的元素中排第几个，这就是康托展开。

推论

根据康托展开，\(S_i\)就是第\(i\)位上可选的数中比第\(i\)位上应选的数小的数的个数。那么此题转化为求总区间第\(S_i+1\)大。一颗权值线段树解决问题，不用持久化。康托展开的排名也是基于0的，所以也不用调用STL的last_permutation().

算法流程

1. 用权值线段树求出总区间第\(S_i+1\)大，记答案为\(ans\)并输出
2. 将权值线段树的\([ans,ans]\)叶节点置0

就这么简单

时间复杂度

对于单组数据，执行一次上述算法流程需要\(O(\log k)\)时间，而要执行\(k\)次，所以单组数据的时间复杂度为\(O(k\log k)\)。有\(T\)组数据所以总时间复杂度为\(O(T\cdot k\log k)\)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rg register
template<typename T>T read(T&x)
{
	T data=0;
	int w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch!='-'&&!isdigit(ch))
		ch=getchar();
	if(ch=='-')
		w=-1,ch=getchar();
	while(isdigit(ch))
		data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x=data*w;
}
using namespace std;
const int MAXK=5e4+7;
struct SegTree
{
	int sum;
}ST[MAXK<<2];
#define root ST[o]
#define lson ST[o<<1]
#define rson ST[o<<1|1]
void pushup(int o)
{
	root.sum=lson.sum+rson.sum;
}

void build(int o,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		root.sum=1;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(o<<1,l,mid);
	build(o<<1|1,mid+1,r);
	pushup(o);
}

int qkth(int o,int l,int r,int rnk)
{ // 边找边删，简化操作
	if(l==r)
	{
		root.sum=0;
		return l;
	}
	int mid=(l+r)>>1,ans;
	if(rnk<=lson.sum)
		ans=qkth(o<<1,l,mid,rnk);
	else
		ans=qkth(o<<1|1,mid+1,r,rnk-lson.sum);
	pushup(o);
	return ans;
}

int main()
{
//	freopen("UVa11525.in","r",stdin);
//	freopen("UVa11525.out","w",stdout);
	int T;
	read(T);
	while(T--)
	{
		memset(ST,0,sizeof(ST));
		int k;
		read(k);
		build(1,1,k);
		for(rg int i=1;i<=k;++i)
		{
			int s; // 不用开s数组，节省空间
			read(s);
			printf("%d%c",qkth(1,1,k,s+1),i==k?'\n':' ');
		}
	}
}

Hint

这题卡输出格式，必须按我那样写，不然会WA。（我就WA了好几次。）