【BZOJ】4001: [TJOI2015]概率论

题意

求节点数为\(n\)的有根树期望的叶子结点数。（\(n \le 10^9\)）

分析

神题就打表找规律..

题解

方案数就是卡特兰数，$h_0=1, h_n = \sum_{i=0}^{n-1} h_i h_{n-1-i} \(。
设叶子数量和为\)f_n\(，则得到\)f_n = 2 \sum_{i=0}^{n-1} f_i h_{n-1-i}\(
设\)H(x)\(表示\)h_n\(的母函数，\)F(x)\(表示\)f_n\(的母函数
容易得到:\)\(H(x) = x H^2(x) + 1\)$ $$F(x) = 2 x F(x) H(x) + x$$即:$$H(x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$ $$F(x) = \frac{x}{1-\sqrt{1-4x}}$$发现$$(xH(x))' = \sum_{i=0}^{\infty} (i+1)h_i x^i = \frac{1}{\sqrt{1-4x}} = \frac{F(x)}{x}$$即$$F(x) = \sum_{i=0}^{\infty} (i+1)h_i x^{i+1} = \sum_{i=1}^{\infty} i h_{i-1} x^i = \sum_{i=0}^{\infty} f_i x^i$$即\(f_i = i h_{i-1}\)

所以\(ans = \frac{f_n}{h_n} = \frac{n h_{n-1}}{h_n} = \frac{n(n+1)}{2(2n-1)}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double lf;
int main() {
	lf n;
	scanf("%Lf", &n);
	printf("%.9Lf\n", n*(n+1)/2/(n*2-1));
	return 0;
}