【洛谷】2473：[SCOI2008]奖励关【期望DP（倒推）】

P2473 [SCOI2008]奖励关

题目背景

08四川NOI省选

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入输出格式

输入格式：

第一行为两个正整数k 和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种

宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各

宝物编号为1到n），以0结尾。

输出格式：

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 2
1 0
2 0

输出样例#1： 复制

1.500000

输入样例#2： 复制

6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

输出样例#2： 复制

10.023470

说明

1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15，分值为[-106,106]内的整数。

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Solution

果然老李给的是期望专题....

这道题状态比较好想，数据暗示状压。定义$dp[i][j]$表示当前到了第$i$轮，状态为$j$时获得的期望值。从前到后不好转移，有些状态无法到达。

所以考虑倒推，从后面能到达的状态转移回来，最后答案就是$dp[1][0]$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, k, w[], s[( << ) + ];
double dp[][( << ) + ];
int main() {
    scanf("%d%d", &k, &n);
    for(int i = ; i <= n; i ++) {
        scanf("%d", &w[i]);
        int a;
        while(scanf("%d", &a) == ) {
            if(a == )    break;
            s[i] |= ( << (a - ));
        }
    }
    for(int i = k; i >= ; i --)
        for(int j = ; j < ( << n); j ++) {
            for(int p = ; p <= n; p ++)
                if((j & s[p]) == s[p])
                    dp[i][j] += max(dp[i + ][j], dp[i + ][j | ( << (p - ))] + 1.0 * w[p]);
                else dp[i][j] += dp[i + ][j];
            dp[i][j] /= n;
        }
    printf("%.6lf", dp[][]);
    return ;
}