洛谷P2764 最小路径覆盖问题

有向无环图的最小路径点覆盖

最小路径覆盖就是给定一张DAG，要求用尽量少的不相交的简单路径，覆盖有向无环图的所有顶点。

有定理：顶点数-路径数=被覆盖的边数。

要理解的话可以从两个方向：

• 假设DAG已经被n条路径覆盖，那么任意一条路径又有 顶点数-1=边数。那么对所有路径等式两边求和，每条路径的顶点数之和=所有点数，-1的和=路径数，每条路径的边数之和=被覆盖的边数。。这样上面的定理就成立了。

• 还有一种方法，我们要先引入二分图

我们把原图中的点拆成出点（边从该点出）和入点（边从该点入），即原图点x在二分图中对应出点x，入点x+n。

原图中的边(x,y)对应二分图中的(x,y+n)。我们每次选择路径，因为边不能相交，所以对于一个点，只有一个入和一个出，这显然是一个匹配问题。

选择的边(x,y)相当于从源点s到x，从x到y+n，从y+n到汇点t有了单位流量。

特别的，如果一个点是路径的终点，那么他没有出度，即该点二分匹配失败。

可以显然得出，最后匹配失败的点数就是路径数。

因为源点相连的点一定有n个，所以有 顶点数-路径数=二分图最大匹配。

且由上述概念得二分图最大匹配即为路径选择的边数（被覆盖的边数）

所以我们把题目给的点拆开跑最大流就可以啦！

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define full(a, b) memset(a, b, sizeof a)
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int lowbit(int x){ return x & (-x); }
inline int read(){
    int X = 0, w = 0; char ch = 0;
    while(!isdigit(ch)) { w |= ch == '-'; ch = getchar(); }
    while(isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return w ? -X : X;
}
inline int gcd(int a, int b){ return a % b ? gcd(b, a % b) : b; }
inline int lcm(int a, int b){ return a / gcd(a, b) * b; }
template<typename T>
inline T max(T x, T y, T z){ return max(max(x, y), z); }
template<typename T>
inline T min(T x, T y, T z){ return min(min(x, y), z); }
template<typename A, typename B, typename C>
inline A fpow(A x, B p, C lyd){
    A ans = 1;
    for(; p; p >>= 1, x = 1LL * x * x % lyd)if(p & 1)ans = 1LL * x * ans % lyd;
    return ans;
}
const int N = 505;
const int M = 6005;
int n, m, cnt, head[N], depth[N], to[N], vis[N];
struct Edge { int v, next, f; } edge[M<<5];

void addEdge(int a, int b, int f){
    edge[cnt].v = b, edge[cnt].f = f, edge[cnt].next = head[a], head[a] = cnt ++;
    edge[cnt].v = a, edge[cnt].f = 0, edge[cnt].next = head[b], head[b] = cnt ++;
}

bool bfs(){
    full(depth, 0);
    queue<int> q;
    depth[0] = 1, q.push(0);
    while(!q.empty()){
        int s = q.front(); q.pop();
        for(int i = head[s]; i != -1; i = edge[i].next){
            int u = edge[i].v;
            if(!depth[u] && edge[i].f > 0){
                depth[u] = depth[s] + 1;
                q.push(u);
            }
        }
    }
    return depth[2 * n + 1] != 0;
}

int dfs(int s, int a){
    if(s == 2 * n + 1) return a;
    int flow = 0;
    for(int i = head[s]; i != -1; i = edge[i].next){
        int u = edge[i].v;
        if(depth[u] == depth[s] + 1 && edge[i].f > 0){
            int k = dfs(u, min(a, edge[i].f));
            if(k > 0){
                flow += k, a -= k, edge[i].f -= k, edge[i^1].f += k, to[s] = u;
                if(s != 0) vis[u - n] = true;
            }
        }
        if(!a) break;
    }
    if(a) depth[s] = -1;
    return flow;
}

int dinic(){
    int ret = 0;
    while(bfs()){
        ret += dfs(0, INF);
    }
    return ret;
}

int main(){

    full(head, -1);
    n = read(), m = read();
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        addEdge(0, i, 1), addEdge(i + n, 2 * n + 1, 1);
    for(int i = 0; i < m; i ++){
        int u = read(), v = read();
        addEdge(u, v + n, 1);
    }
    int ans = n - dinic();
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        if(!vis[i]){
            int cur = i;
            printf("%d ", cur);
            while(to[cur] != 2 * n + 1 && to[cur] != 0){
                printf("%d ", to[cur] - n), cur = to[cur] - n;
            }
            puts("");
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}